泛函分析习题讲解 习题1.18
习题题面
设 \(X\) 是完备距离空间，\(T\) 是 \(X\) 上到自身的映射，在闭球 \(\bar{B}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq r\}\) 上，\(d(Tx,Ty)\leq\theta d(x,y)\) 且 \(d(x_0,Tx_0)<(1-\theta)r\)，其中 \(0\leq\theta<1\). 证明 \(T\) 在 \(\bar{B}\) 上有惟一不动点.
教材参考答案
命 \(x_{n+1}=Tx_n,\, n=0,1,2,\dots\). 只需证明，\(x_n \in \bar{B}\). 因为 \(\bar{B}\) 是闭集，则 \(x_n\rightarrow\bar{x}\in\bar{B}\)，\(\bar{x}\) 是 \(T\) 的不动点.
事实上，由压缩映射原理的证明过程可知，
\[ d(x_0,x_n)\leq\frac{1}{1-\theta}d(x_0,Tx_0)<\frac{1}{1-\theta}(1-\theta)r=r\quad\forall n. \]
即 \(x_n\in\bar{B}\).
习题分析
很多同学乍一看答案觉得极其顺畅，但如果仔细推敲这短短两三行字，就会发现它犯了一个数学证明中最致命的逻辑谬误，即循环论证。课本答案直接祭出了全局压缩映射定理中的误差估计公式 \(d(x_0,x_n) \le \frac{1}{1-\theta}d(x_0,Tx_0)\)，以此来证明迭代序列的所有点都在闭球 \(\bar{B}\) 内。但问题恰恰出在这里：这个误差公式是怎么来的？它是通过把前 \(n\) 步的距离累加，并利用压缩条件 \(\theta\) 不断递推放缩后求等比数列和得到的。而本题的题设明确指出，映射 \(T\) 仅仅在闭球 \(\bar{B}\) 内才满足压缩条件！也就是说，你必须先证明所有的点都在闭球里，你才有资格去使用压缩条件推导出这条误差公式；但课本却反过来用这条公式去证明点在闭球里，这正是典型的“先射箭再画靶心”的循环论证。
想要打破这个循环论证，唯一的合法途径就是数学归纳法。我们必须像摸着石头过河一样，先确认第一步在安全区（闭球）内，然后假设前 \(n\) 步都在安全区内（从而解锁这 \(n\) 步的压缩条件），利用这前 \(n\) 步积累的压缩效应，去推导出第 \(n+1\) 步依然不会跨出安全区的边界。一旦我们严格证明了整个迭代序列被死死地锁在闭球 \(\bar{B}\) 这个“局部完备空间”内，接下来的事情就是顺水推舟了。全空间的完备性保证了闭球的完备性，序列在闭球内形成Cauchy列并最终收敛，这完全就是Banach压缩映射定理的流水线作业。所以，这道题真正的难点和核心，全在归纳法上。
标准解答
在空间 \(X\) 中，从初始点 \(x_0\) 出发，构造标准的Picard迭代序列：令 \(x_1=Tx_0,x_2=Tx_1,\dots,x_{n+1}=Tx_n\).
首先利用数学归纳法证明：对于任意的正整数 \(n\ge1\)，迭代序列始终不越出闭球的边界（即 \(x_n\in\bar{B}\)），且相邻两项的距离满足 \(d(x_n, x_{n-1}) \le \theta^{n-1} d(x_1, x_0)\).
考察基础情况 \(n=1\). 根据题意已知 \(d(x_1, x_0) = d(Tx_0, x_0) < (1-\theta)r\). 由于压缩常数 \(0 \le \theta < 1\)，显然有 \(1-\theta \le 1\)，故 \(d(x_1, x_0) < r \le r\). 这意味着 \(x_1\) 到球心的距离不超过 \(r\)，即 \(x_1 \in \bar{B}\)，基础情况成立.
接下来确立归纳假设. 我们假设对于 \(k = 1, 2, \dots, n\)，均有 \(x_k \in \bar{B}\) 成立，并且对于这些已经在闭球内的点，均满足递推压缩不等式 \(d(x_k, x_{k-1}) \le \theta^{k-1} d(x_1, x_0)\).
现在，我们向第 \(n+1\) 步迈进，考察点 \(x_{n+1} = Tx_n\) 的位置. 根据归纳假设，由于 \(x_n \in \bar{B}\) 且 \(x_{n-1} \in \bar{B}\)，我们对这两个点使用题设中仅在闭球内成立的局部压缩条件：
\[ d(x_{n+1}, x_n) = d(Tx_n, Tx_{n-1}) \le \theta d(x_n, x_{n-1}) \]
将归纳假设中对 \(d(x_n, x_{n-1})\) 的控制代入上式，立刻得到更深一层的距离衰减：
\[ d(x_{n+1}, x_n) \le \theta \cdot \theta^{n-1} d(x_1, x_0) = \theta^n d(x_1, x_0) \]
为了判断 \(x_{n+1}\) 是否越界，我们利用度量空间的三角不等式，计算其到球心 \(x_0\) 的累积距离：
\[ d(x_{n+1}, x_0) \le d(x_{n+1}, x_n) + d(x_n, x_{n-1}) + \dots + d(x_1, x_0) \]
将前面推导出的所有相邻项距离的放缩结果代入，提取公因式：
\[ d(x_{n+1}, x_0) \le (\theta^n + \theta^{n-1} + \dots + \theta + 1) d(x_1, x_0) \]
利用等比数列求和公式对括号内进行化简：
\[ d(x_{n+1}, x_0) \le \frac{1 - \theta^{n+1}}{1 - \theta} d(x_1, x_0) \]
由于 \(\theta \ge 0\)，分子 \(1 - \theta^{n+1} < 1\) 恒成立. 又因题设给出了极强的初始距离控制条件 \(d(x_1, x_0) < (1-\theta)r\)，将其代入上式严格放缩：
\[ d(x_{n+1}, x_0) < \frac{1}{1 - \theta} \cdot (1-\theta)r = r \]
综上有 \(d(x_{n+1}, x_0) < r\)，即点 \(x_{n+1}\) 依然安稳地落在闭球 \(\bar{B}\) 内. 由数学归纳法原理，整个迭代序列 \(\{x_n\}\) 均属于闭球 \(\bar{B}\).
在严格证明了整个迭代序列被封锁在闭球 \(\bar{B}\) 中之后，由于全空间 \(X\) 是完备的，而闭球 \(\bar{B}\) 作为其闭子集，自身必然也构成一个完备的度量空间. 同时，题目已知映射 \(T\) 在 \(\bar{B}\) 上严格满足压缩常数为 \(0 \le \theta < 1\) 的局部压缩条件. 综上由Banach压缩映射定理，可得出结论，即映射 \(T\) 在闭球 \(\bar{B}\) 内存在唯一的不动点 \(\bar{x}\).
助教提点
这道习题在泛函分析课程中被称为“局部Banach压缩映射定理”。与其说这道题是在考查大家对压缩定理本身的掌握，不如说它是在考查大家对数学逻辑严密性的极致追求。
正如我们在习题分析中所指出的，这道题的绝大部分思维分量都集中在“如何严格证明迭代点列不跑出闭球”这一点上。局部压缩定理的核心灵魂，就是要通过严苛的初始位移限制（即 \(d(x_0, Tx_0) < (1-\theta)r\)），来强行在空间中圈出一个“安全区”。只有当序列的每一个脚印都稳稳踩在安全区内时，压缩定理的后续魔法才得以生效。课本答案虽然方向正确，但在逻辑先后顺序上犯了严重的大忌，大家在期末作答时切忌盲目照搬，必须严格走数学归纳法的流程。
从考试阅卷的角度来看，这道题目的踩分点划分具有非常鲜明的“倒挂”特征。如果这是一道满分为5分的期末大题：
- 序列不出界（3分）：能够敏锐地指出必须使用数学归纳法，并在归纳步骤中正确利用等比数列求和公式严格证明出 \(d(x_{n+1}, x_0) < r\)，这是整道题的绝对核心，独占3分。
- 存在性与唯一性（2分）：在确保序列不出界后，利用柯西列和局部完备性（闭子集完备）引用Banach压缩映射定理说明不动点存在且惟一，这部分属于常规流程，占2分。