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习题题面

设 \(X\) 是在 \(\left|z\right|<1\) 中解析且在 \(\left|z\right|\leq1\) 上连续的复函数的全体，在其中定义

\[d(x,y)=\max\limits_{\left|t\right|=1}\left|x(t)-y(t)\right|\]

证明 \((X,d)\) 是距离空间.

习题题面

设 \(d_1,d_2,...,d_m,...\) 是集 \(X\) 上的距离，证明：

• \(d=\sup\limits_{1 \leq i \leq m}d_i\)
• \(d=\sqrt{d_1^2+d_2^2+...+d_m^2}\)
• \(\displaystyle d=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\cdot\frac{d_k}{1+d_k}\)

中的每一个也是 \(X\) 上的距离.

习题题面

证明如果 \(d\) 是集 \(X\) 上的距离，则 \(\displaystyle d_1=\frac{d}{1+d}\) 也是 \(X\) 上的距离.

习题题面

设 \(D\) 是 \([0,1]\) 区间上具有连续导数（在端点 \(t=1\)，\(t=0\) 分别具有左、右导数）的实函数全体，在 \(D\) 上定义

\[ d(x,y)=\sup\limits_{0 \leq t \leq 1}\left| x(t)-y(t) \right|+\sup\limits_{0 \leq t \leq 1}\left| x(t)'-y(t)' \right| \]

1. 证明 \(D\) 是距离空间；
2. 指出 \(D\) 中点列按距离收敛的意义；
3. 证明 \(D\) 是完备的.

经历过各种磨难的重重考验，下学期我终于要正式步入研究生的殿堂，并且非常期待能担任这门课的助教！为了更好地迎接下学期的《泛函分析》课程，我将在这里开启一个全新系列——基于《泛函分析》课后习题的详细解答与讲评，希望能帮助同学们更好地完成课程学习、作业撰写以及期末备考。

2025年6月21日，我有幸参加了人生中第二次学术会议。与去年初次参会时的青涩相比，这次会议让我有了更深刻的体会。在此记录下这段宝贵的经历，既是对自己的总结，也希望能为同行提供一些参考。

午后醒来，朋友圈竟被AI写作刷了屏——清一色都在用机器生成全国Ⅰ卷的作文。出于好奇，我点开搜索引擎翻了翻题目，却发现自己像面对一道加密算法，怎么也解不开命题者的意图。倒是上海卷和Ⅱ卷的题目明晃晃地摊在那里，像敞开的门。（不过考场作文这回事，读得懂题目和写得漂亮之间，还隔着马里亚纳海沟呢。）

大家好，欢迎来到 BillyBlog！这是本博客的第一篇文章，正式宣告这个博客空间的诞生。在未来的日子里，我会在这里分享我的科研生活、科普知识以及游戏动态，希望能和大家一起交流、学习和成长。