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习题题面

设拓扑空间 \((X,\tau)\) 满足第二可数公理，证明从 \(X\) 的任意开覆盖中可选出由最多可数个集构成的子覆盖.

习题题面

设 \(X\) 是 \(T_1\) 的拓扑空间，证明点 \(x\) 是 \(X\) 中集 \(E\) 的极限点，当且仅当 \(x\) 的任意领域中包含 \(E\) 中的无穷多点. 如不假设 \(X\) 是 \(T_1\) 的，这个结论是否成立？

习题题面

试举一拓扑空间的例，它是 \(T_2\) 的但不是 \(T_3\) 的.

习题题面

设 \(X\) 是任一集，\(\mathscr{B}_1,\mathscr{B}_2\) 是 \(X\) 的子集构成的集族，它们都满足定理 1.5.1 中的条件，设 \(\tau_1,\tau_2\) 分别是由它们决定的 \(X\) 上的拓扑. 证明：\(\tau_1\subset\tau_2\)，当且仅当对于每一 \(G_1\in\mathscr{B}_1\) 及任一点 \(x\in G_1\)，存在 \(G_2\in\mathscr{B}_2\)，使得 \(x\in G_2\subset G_1\).

定理 1.5.1

设 \(X\) 是任一集，\(\mathscr{B}\) 是 \(X\) 的子集构成的集族，则 \(\mathscr{B}\) 是 \(X\) 上某一拓扑基，当且仅当，\(\mathscr{B}\) 具有以下性质：

1. 任一点 \(x\in X\)，存在 \(G\in\mathscr{B}\)，使得 \(x\in G\)；
2. 如果 \(x\in G_1\cap G_2\)，其中 \(G_1, G_2 \in \mathscr{B}\)，则存在 \(G_3\in\mathscr{B}\)，使得 \(x\in G_3\subset G_1\cap G_2\).

习题题面

设 \(X=\{a,b\}\)，\(\tau=\{X,\emptyset,\{b\}\}\)，证明：

1. \(\tau\) 是 \(X\) 上的一个拓扑；
2. \(\{a\}\) 是闭集；
3. \(\overline{\{b\}}=X\).

习题题面

设 \(X\) 是紧距离空间，\(T\) 是 \(X\) 上到自身的映射且满足条件：对任意 \(x,y\in X\)，当 \(x\neq y\) 时，\(d(Tx,Ty)<d(x,y)\). 证明 \(T\) 在 \(X\) 上有惟一不动点.

习题题面

设 \((t_0,s_0)\in\mathbb{R}^2\)，\(f(t,s)\) 在 \((t_0,s_0)\) 的领域 \(N\) 中连续，\(s_0=f(t_0,s_0)\)，\(f'_s(t,s)\) 在 \(N\) 中存在且在 \((t_0,s_0)\) 连续并且 \(f'_s(t_0,s_0)=0\). 用压缩映射原理证明：存在 \(\delta>0\)，\(x(t)\in C[t_0-\delta,t_0+\delta]\)，使得 \(s_0=x(t_0)\)，\(x(t)=f(t,x(t))\)，\(t\in[t_0-\delta, t_0+\delta]\).

习题题面

设 \(X\) 是完备距离空间，\(T\) 是 \(X\) 上到自身的映射，在闭球 \(\bar{B}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq r\}\) 上，\(d(Tx,Ty)\leq\theta d(x,y)\) 且 \(d(x_0,Tx_0)<(1-\theta)r\)，其中 \(0\leq\theta<1\). 证明 \(T\) 在 \(\bar{B}\) 上有惟一不动点.

习题题面

证明：存在闭区间 \([0,1]\) 上的连续函数 \(x(t)\)，使得

\[ x(t)=\frac{1}{2}\sin x(t)-a(t) \]

其中，\(a(t)\) 是给定的 \([0,1]\) 上的连续函数.

习题题面

举例说明，在压缩映射原理中，

1. 空间完备性条件不可少；
2. 映射 \(T\) 所满足的条件不能代之以条件：\[d(Tx,Ty)<d(x,y)\quad(x\neq y)\]