BillyBlog

习题题面

设 \(F_1,F_2\) 是距离空间 \(X\) 中不相交的闭集，证明存在 \(X\) 上的连续函数 \(f(x)\)，使得当 \(x\in F_1\) 时 \(f(x)=0\)，当 \(x\in F_2\) 时 \(f(x)=1\).

习题题面

设\((X,d)\)是距离空间，\(A\subset X\)，令

\[ f(x)=\inf\limits_{y\in A}d(x,y)\quad(x\in X) \]

证明\(f(x)\)是\(X\)上的连续函数.

习题题面

证明如果距离空间是可分的，则它的任意子空间也是可分的；反之，如果距离空间不可分，它的子空间是否也不可分？

习题题面

证明距离空间的完备子空间是闭子空间.

习题题面

证明距离空间中每一个Cauchy列是有界集.

习题题面

试举一例说明有界集不是全有界集.

习题题面

证明在空间 \(s\) 中，按距离收敛等价于按坐标收敛.

习题题面

证明在距离空间中，如果一个半径为7的开球包含在一个半径为3的开球中，则这两个球重合.

习题题面

在距离空间中，一个半径为4的开球能否成为一个半径为3的开球的真子集？

习题题面

设 \(X\) 是在 \(\left|z\right|<1\) 中解析且在 \(\left|z\right|\leq1\) 上连续的复函数的全体，在其中定义

\[d(x,y)=\max\limits_{\left|t\right|=1}\left|x(t)-y(t)\right|\]

证明 \((X,d)\) 是距离空间.