泛函分析习题讲解 习题1.19
习题题面
设 \((t_0,s_0)\in\mathbb{R}^2\)，\(f(t,s)\) 在 \((t_0,s_0)\) 的领域 \(N\) 中连续，\(s_0=f(t_0,s_0)\)，\(f'_s(t,s)\) 在 \(N\) 中存在且在 \((t_0,s_0)\) 连续并且 \(f'_s(t_0,s_0)=0\). 用压缩映射原理证明：存在 \(\delta>0\)，\(x(t)\in C[t_0-\delta,t_0+\delta]\)，使得 \(s_0=x(t_0)\)，\(x(t)=f(t,x(t))\)，\(t\in[t_0-\delta, t_0+\delta]\).
教材参考答案
由于 \(f'_s( t_0,s_0 )=0\)，\(f'_s(t,s)\) 在 \(N\) 中连续，必存在 \(a,b>0\) 使得当 \(|t-t_0|\leq a\)，\(|s-s_0|\leq b\) 时有 \(|f'_s(t,s)|\leq\frac{1}{2}\)，又由于 \(f(t,s)\) 在 \(N\) 中连续及 \(s_0=f(t_0,s_0)\)，必存在 \(\delta>0(\delta\leq a)\)，使得 \(|t-t_0|\leq\delta\) 时有 \(|f(t,s_0)-f(t_0,s_0)|=|f(t,s_0)-s_0|\leq\frac{b}{2}\). 命
\[ V_b( s_0 ) = \left\{ x \in C[ t_0 - \delta , t_0 + \delta ] : \max_{| t - t_0 | < \delta } | x( t ) - s_0 | \leq b \right\} . \]
则 \(V_b( s_0 )\) 是 \(C[ t_0 - \delta , t_0 + \delta ]\) 的闭子空间，从而是完备的距离空间. 命
\[ Tx( t ) = f( t, x( t ) ) ,\;x \in V_b( s_0 ) . \]
由于 \(t \in [ t_0 - \delta , t_0 + \delta ]\)，有
\[ \begin{aligned} | Tx( t ) - s_0 | &= | f( t, x( t ) ) - f( t, s_0 ) + f( t, s_0 ) - s_0 | \\ &\leq | f( t, x( t ) ) - f( t, s_0 ) | + | f( t, s_0 ) - s_0 | \\ &\leq | f'_s( t, s ) | | x( t ) - s_0 | + \frac{b}{2} \leq b. \end{aligned} \]
所以 \(Tx \in V_b( s_0 )\). 又对所有 \(x_1, x_2 \in V_b( s_0 )\) 及 \(t \in [ t_0 - \delta , t_0 + \delta ]\)
\[ \begin{aligned} | Tx_1( t ) - Tx_2( t ) | &= | f( t, x_1( t ) ) - f( t, x_2( t ) ) | \\ &\leq \frac{1}{2}| x_1( t ) - x_2( t ) | \\ &\leq \frac{1}{2}\max_{| t - t_0 | < \delta } | x_1( t ) - x_2( t ) | . \end{aligned} \]
即 \(d(Tx_1,Tx_2)\leq\frac{1}{2}d(x_1,x_2)\). 因此 \(T:V_b(s_0)\rightarrow V_b(s_0)\) 是压缩映射，所以存在惟一的 \(x( t ) \in V_b( s_0 ) \subset C[ t_0 - \delta , t_0 + \delta ]\)，使得 \(x( t ) = f( t, x( t ) )\)，\(t \in [ t_0 - \delta , t_0 + \delta ]\).
由于 \(s_0=f(t_0,s_0)\)，所以由 \(x(t_0)=f(t_0,x(t_0))\) 及
\[ |x(t_0)-s_0|=|f(t_0,x(t_0))-f(t_0,s_0)|\leq\frac{1}{2}|x(t_0)-s_0|, \]
知 \(s_0=x(t_0)\).
习题分析
对于认真研读过《数学分析》的同学来说，这道题的背景一定不陌生。没错，它其实就是大名鼎鼎的“隐函数存在定理”在泛函分析视角下的一种具体体现。
在经典的数学分析中，要严格证明隐函数存在定理是一件相当痛苦的事情。我们需要利用偏导数的符号划定安全区域，依靠介值定理来确认根的存在性，再借助函数的严格单调性来保证根的唯一性，最后还要进行繁琐的 \(\varepsilon-\delta\) 放缩来论证隐函数的连续性。这种方法严重依赖于实数轴上特有的拓扑性质和偏序关系。
但当我们站上《泛函分析》的平台，解决同样的问题就拥有了“降维打击”的利器。我们不再去微观地盯住实数轴上的每一个点，而是将整个隐函数 \(x(t)\) 视为连续函数空间 \(C[t_0-\delta,t_0+\delta]\) 中的一个“点”。既然题目已经将隐函数方程写成了 \(x(t)=f(t,x(t))\) 这种优美的形态，它在泛函视角下直接就化身为了一个算子的不动点方程 \(x=Tx\)。
利用Banach压缩映射原理求解，我们不仅彻底绕开了实数轴上的介值定理和单调性讨论，更将连续性、存在性与唯一性打包在了一起，一次性全部解决。我们唯一要做的，就是像剥洋葱一样，利用已知的连续性和偏导数为0的条件，在中心点 \((t_0,s_0)\) 附近划定一个足够小、足够安全的“局部完备闭球”，确保映射在这个闭球里不会越界，且满足严格的压缩条件。
标准解答
欲证存在连续函数 \(x(t)\) 满足方程 \(x(t)=f(t,x(t))\)，本质上是在寻找某一算子的不动点. 为此，我们首先需要利用已知条件，在中心点 \((t_0,s_0)\) 附近划定一个使算子具备严格压缩性质的“安全邻域”.
已知偏导数 \(f'_s(t, s)\) 在邻域 \(N\) 中连续，且在中心点处 \(f'_s(t_0,s_0)=0\). 根据连续函数的局部保号性，必定存在常数 \(a>0\) 和 \(b>0\)，使得当自变量限制在矩形区域 \(|t-t_0|\le a\) 且 \(|s-s_0|\le b\) 时，偏导数绝对值被严格控制：
\[ |f'_s(t,s)|\le\frac{1}{2} \]
接下来，我们需要控制映射在自变量 \(t\) 方向上的偏移. 由于 \(f(t,s)\) 在邻域 \(N\) 中连续，考察一元函数 \(f(t,s_0)\)，它在 \(t=t_0\) 处的值为 \(f(t_0,s_0)=s_0\). 根据连续性的 \(\varepsilon-\delta\) 定义，对于上述选定的正数 \(\frac{b}{2}\)，必定存在一个足够小的 \(\delta>0\)（为保证不出界，可要求 \(\delta\le a\)），使得当 \(|t-t_0|\le\delta\) 时，恒有：
\[ |f(t,s_0)-f(t_0,s_0)|=|f(t,s_0)-s_0|\le\frac{b}{2} \]
有了这个安全邻域，我们便可构造完备的函数空间. 在闭区间 \([t_0-\delta,t_0+\delta]\) 上的连续函数空间中，定义一个闭子空间：
\[ V_b(s_0)=\left\{x\in C[t_0-\delta,t_0+\delta] \;\bigg|\; \max_{|t-t_0|\le\delta}|x(t)-s_0|\le b\right\} \]
由于赋予最大值度量的连续函数空间自身完备，而 \(V_b(s_0)\) 构成其闭子集，故 \(V_b(s_0)\) 是一个局部的完备距离空间. 我们在此空间上定义积分算子 \(T\)：
\[ (Tx)(t) = f(t,x(t)),\quad x\in V_b(s_0) \]
为应用压缩映射原理，必须先证明 \(T\) 是该局部完备空间上的自映射，即 \(Tx \in V_b(s_0)\). 任取 \(x \in V_b(s_0)\)，利用三角不等式强行插入中间项 \(f(t, s_0)\)：
\[ \begin{aligned} |(Tx)(t) - s_0| &= |f(t, x(t)) - f(t, s_0) + f(t, s_0) - s_0| \\ &\le |f(t, x(t)) - f(t, s_0)| + |f(t, s_0) - s_0| \end{aligned} \]
对于上式右端第一项，由于 \(|x(t)-s_0|\le b\)，函数值落在偏导数受控的区域内，利用拉格朗日中值定理（或微分中值定理）可知：
\[ |f(t, x(t)) - f(t, s_0)| = |f'_s(t, \xi)| \cdot |x(t) - s_0| \le \frac{1}{2} \cdot b = \frac{b}{2} \]
对于第二项，由前文选定的 \(\delta\) 邻域性质已知 \(|f(t, s_0) - s_0| \le \frac{b}{2}\). 两项合并即可严格得出：
\[ |(Tx)(t) - s_0| \le \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b \]
这证明了算子 \(T\) 确实将闭球 \(V_b(s_0)\) 映射到了自身.
随后证明算子 \(T\) 满足严格压缩条件. 任取该闭子空间中的两个函数 \(x_1, x_2 \in V_b(s_0)\)，考察它们在算子 \(T\) 映射下的差值：
\[ |(Tx_1)(t) - (Tx_2)(t)| = |f(t, x_1(t)) - f(t, x_2(t))| \]
同样利用拉格朗日中值定理，由于 \(x_1(t)\) 与 \(x_2(t)\) 均未逃出以 \(s_0\) 为中心、半径为 \(b\) 的闭区间，此区间内偏导数绝对值恒不超过 \(\frac{1}{2}\)，故有：
\[ |f(t, x_1(t)) - f(t, x_2(t))| \le \frac{1}{2} |x_1(t) - x_2(t)| \]
对上式两端同时关于自变量 \(t\) 取最大值，立刻得到空间度量下的压缩不等式：
\[ d(Tx_1, Tx_2) \le \frac{1}{2} d(x_1, x_2) \]
由于 \(\theta = \frac{1}{2} < 1\)，\(T\) 是完备距离空间 \(V_b(s_0)\) 上的压缩映射. 根据Banach压缩映射原理，算子 \(T\) 在该空间内存在唯一的不动点 \(x(t)\). 即存在连续函数 \(x(t)\) 满足 \(x(t) = f(t, x(t))\).
最后验证初始条件 \(x(t_0) = s_0\) 是否满足. 将 \(t=t_0\) 代入方程，并利用初始已知条件 \(s_0 = f(t_0, s_0)\) 进行距离推演：
\[ |x(t_0) - s_0| = |f(t_0, x(t_0)) - f(t_0, s_0)| \]
由于 \(x(t) \in V_b(s_0)\)，点 \((t_0, x(t_0))\) 仍在安全偏导数区域内，利用放缩即有：
\[ |f(t_0, x(t_0)) - f(t_0, s_0)| \le \frac{1}{2} |x(t_0) - s_0| \]
由于绝对值非负，满足 \(|A| \le \frac{1}{2}|A|\) 的实数 \(A\) 只能为0. 故 \(|x(t_0) - s_0| = 0\)，即 \(x(t_0) = s_0\).
助教提点
这道题是对大家进行“泛函分析抽象思维”的一次绝佳洗礼。如果对隐函数存在定理不熟悉，大家可以去翻阅邓东皋老师的《数学分析简明教程》以作对照。
在传统的数学分析中，实数轴因为拥有极好的拓扑结构（比如偏序关系、介值性等），我们往往会利用这些具象的性质去强行求解。但正如我们在习题 1.14 中反复强调过的，一旦脱离了实数轴，许多完备性性质在抽象空间中直接失效。泛函分析的美妙之处就在于，它教我们把特殊的情况化为一般：把方程的根抽象成算子的不动点，把一个具体的曲线抽象成函数空间里的一个点。只要我们在局部成功构建出一个完备的闭空间，并验证了严格的压缩条件，复杂的微积分问题瞬间就降维成了简单的迭代问题。
至于这道题的评分细则（若以10分计算），主要考查大家利用局部条件构建完备空间与压缩条件的严谨性：
- 构造局部边界条件（2分）：能够利用连续性和偏导数为 0 的条件，准确写出存在常数使得 \(|f'_s| \le 1/2\) 和 \(|f(t,s_0) - s_0| \le b/2\)。
- 定义完备度量空间（2分）：明确写出闭子空间 \(V_b(s_0)\) 的定义，并点明其局部的完备性。
- 证明算子自映射（3分）：这是最容易失分的一步！必须利用三角不等式插入中间项 \(f(t,s_0)\)，结合拉格朗日中值定理证明 \(Tx \in V_b(s_0)\)。
- 证明压缩条件（2分）：利用中值定理得出Lipschitz常数 \(1/2\)，并写出度量空间的压缩不等式。
- 验证初始点（1分）：引用定理得出不动点后，利用代数关系严谨推导出 \(x(t_0) = s_0\)。