泛函分析习题讲解 习题1.17
习题题面
证明：存在闭区间 \([0,1]\) 上的连续函数 \(x(t)\)，使得
\[ x(t)=\frac{1}{2}\sin x(t)-a(t) \]
其中，\(a(t)\) 是给定的 \([0,1]\) 上的连续函数.
教材参考答案
考虑空间 \(C[0,1]\)，命
\[ Tx(t) = \frac{1}{2}\sin x(t)-a(t). \]
显然，\(T:C[0,1]\rightarrow C[0,1]\)，并且
\[ \begin{aligned} d( Tx_1, Tx_2 ) &= \max_{0 \leq t \leq 1} \left| \frac{1}{2}\sin x_1(t) - \frac{1}{2}\sin x_2(t) \right| \\ &= \frac{1}{2} \max_{0 \leq t \leq 1} \left| 2\cos \frac{x_1(t) + x_2(t)}{2}\sin \frac{x_1(t) - x_2(t)}{2} \right| \\ &\leq \max_{0 \leq t \leq 1} \left| \sin \frac{x_1(t) - x_2(t)}{2} \right| \\ &\leq \frac{1}{2} \max_{0 \leq t \leq 1} \left| x_1(t) - x_2(t) \right| = \frac{1}{2}d( x_1, x_2 ) . \end{aligned} \]
于是，由压缩映射原理，存在 \(x\in C[0,1]\) 使得
\[ x(t) = \frac{1}{2}\sin x(t)-a(t). \]
习题分析
这道题的意图非常直白，可以说是Banach压缩映射原理的一道标准“模板题”。题目要求我们证明存在一个连续函数满足某个非线性的积分或代数方程，这在泛函分析中，最常规的武器就是将其转化为某个算子的不动点问题。结合我们在习题 1.16 中刚刚剖析过的定理核心要素，要运用压缩映射原理，我们必须集齐三块拼图：第一，找准一个完备的度量空间；第二，构造一个映射，并证明它是该空间上的自映射；第三，证明该映射满足严格的压缩条件。
对于第一块拼图，完备空间的选择是显然的。题目要求函数在闭区间 \([0,1]\) 上连续，我们自然应当请出连续函数空间 \(C[0,1]\) 及其自带的一致度量（最大值距离）。我们在本章前期的学习中已经明确证明过 \(C[0,1]\) 是一个完备的度量空间，此处直接作为已知结论套用即可。
而本题真正的重头戏在于如何证明严格的压缩条件，即如何放缩以提取出那个严格小于1的压缩率 \(\theta\)。涉及到三角函数的放缩，分析学中通常有两种利器：第一种是利用三角恒等变换（积化和差公式），这也是教材参考答案所展示的路线；第二种则是利用高等数学中更为普遍的拉格朗日中值定理。相比于只能处理三角函数的恒等变换，拉格朗日中值定理在泛函分析中是一种更具普适性的“大杀器”。试想一下，如果题目把非线性项换成 \(\arctan(x)\) 或者 \(\ln(1+x)\)，积化和差公式将彻底失效，但中值定理依然能够通过对导数的控制，轻松求出Lipschitz常数。因此，在下面的标准解答中，我们将抛弃课本的三角公式，向大家展示如何使用拉格朗日中值定理优雅地完成放缩证明。
标准解答
考虑闭区间上的连续函数空间 \(X=C[0,1]\)，赋予其标准的一致度量 \(d(x,y)=\max_{t \in [0,1]} |x(t) - y(t)|\). 由经典分析理论已知，\((X, d)\) 构成一个完备的距离空间.
针对题目中的方程形式，我们构造算子 \(T: X \to X\) 如下：
\[ (Tx)(t) = \frac{1}{2}\sin(x(t)) - a(t) \]
首先验证 \(T\) 是空间 \(X\) 上的自映射. 任取 \(X\) 中的元素 \(x(t)\)，由于 \(x(t)\) 是 \([0,1]\) 上的连续函数，且正弦函数 \(\sin(\cdot)\) 处处连续，复合函数 \(\sin(x(t))\) 依然连续；又已知 \(a(t)\) 为给定的连续函数，经过实数乘法与加减运算后，所得的 \((Tx)(t)\) 必定仍是 \([0,1]\) 上的连续函数. 这严格说明了映射 \(T\) 确实将 \(C[0,1]\) 中的元素映射回了 \(C[0,1]\) 自身.
接下来验证 \(T\) 满足压缩条件. 任取空间中的两个函数 \(x_1, x_2 \in C[0,1]\). 对于定义域内的任意点 \(t \in [0,1]\)，考察它们在映射 \(T\) 下的函数值之差的绝对值：
\[ |(Tx_1)(t) - (Tx_2)(t)| = \left| \left( \frac{1}{2}\sin(x_1(t)) - a(t) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(x_2(t)) - a(t) \right) \right| \]
化简并提取常数后可得：
\[ |(Tx_1)(t) - (Tx_2)(t)| = \frac{1}{2} |\sin(x_1(t)) - \sin(x_2(t))| \]
考虑实变量函数 \(f(u) = \sin u\)，其导数为 \(f'(u) = \cos u\). 在区间两端点 \(x_1(t)\) 与 \(x_2(t)\) 之间应用拉格朗日中值定理，必定存在一个介于两者之间的实数 \(\xi\)，使得：
\[ \sin(x_1(t)) - \sin(x_2(t)) = \cos(\xi) \cdot (x_1(t) - x_2(t)) \]
由于对任意实数 \(\xi\)，余弦函数均满足界限 \(|\cos(\xi)| \le 1\)，两边取绝对值并放缩可得：
\[ |\sin(x_1(t)) - \sin(x_2(t))| \le |x_1(t) - x_2(t)| \]
将此中值定理放缩的结果代回前式，我们得到对于任意 \(t \in [0,1]\) 恒成立的逐点不等式：
\[ |(Tx_1)(t) - (Tx_2)(t)| \le \frac{1}{2} |x_1(t) - x_2(t)| \]
既然上式对闭区间上的所有点 \(t\) 都成立，我们对不等式两边同时关于 \(t \in [0,1]\) 取最大值，依然保持不等关系：
\[ \max_{t \in [0,1]} |(Tx_1)(t) - (Tx_2)(t)| \le \frac{1}{2} \max_{t \in [0,1]} |x_1(t) - x_2(t)| \]
将一致度量的定义代入上式，即得到全局的度量距离不等式：
\[ d(Tx_1, Tx_2) \le \frac{1}{2} d(x_1, x_2) \]
这表明映射 \(T\) 在空间 \(C[0,1]\) 上满足压缩常数 \(\theta = \frac{1}{2} < 1\) 的严格压缩条件. 综合可知，\(T\) 是完备距离空间 \(C[0,1]\) 上的一个压缩映射. 根据 Banach 压缩映射原理，映射 \(T\) 在 \(C[0,1]\) 中存在唯一的不动点 \(\bar{x}\). 即必然存在某个连续函数 \(\bar{x}(t) \in C[0,1]\)，满足 \(T\bar{x} = \bar{x}\)，将其代数形式展开即为：
\[ \bar{x}(t) = \frac{1}{2}\sin(\bar{x}(t)) - a(t) \]
由此，题目命题得证.
助教提点
这道题的本质并不复杂，它算是我们在探讨Banach压缩映射原理时遇到的一道极其标准且能直接套用模板的“送分题”。然而，历年的期末考卷和作业批改经验告诉我们，这道题里暗藏着几个极容易让同学们大意失荆州的“坑点”。
第一个致命坑点是忘记指明空间的完备性。如果不在证明开头明确指出 \(C[0,1]\) 及其一致度量构成完备空间，压缩映射定理的基石就直接塌了，后续的放缩写得再漂亮也会被扣掉大头分数。第二个坑点是遗漏了对自映射（\(T:X\to X\)）的说明。你必须向阅卷老师交代一句：“因为这些项都是连续函数的复合与运算，所以映射结果 \(Tx\) 依然是连续函数”。缺少了这一句，就无法保证迭代序列不会跑出原有空间的范畴。第三个易错点在于没有明确点出压缩率 \(\theta\) 的值及其与1的关系。在放缩完毕后，必须像我们在标准解答中那样，写明 \(\theta = 1/2 < 1\)，这才是满足定理要求的临门一脚。
基于上述的易错点，这道题的考试阅卷细则也就非常明朗了。假设这是一道总分为5分的证明题，踩分点将紧紧围绕定理的三个核心前提展开：能够在开篇清晰地构造出 \(C[0,1]\) 空间并点明其完备性与自映射性质，可稳拿1分基础分；能够利用拉格朗日中值定理或三角公式严密放缩，证明严格压缩条件并求出压缩率，这是全题核心，独占3分；最后，引述Banach压缩映射原理，结合 \(\theta<1\) 的事实得出不动点存在的结论，完成逻辑收尾，得1分。希望大家在考场上能将这套“三步走”的模板印在脑子里，做到滴水不漏。