泛函分析习题讲解 习题1.16
习题题面
举例说明，在压缩映射原理中，
- 空间完备性条件不可少；
- 映射 \(T\) 所满足的条件不能代之以条件：\[d(Tx,Ty)<d(x,y)\quad(x\neq y)\]
教材参考答案
证明完备性条件不可少
设 \(X = (0,1)\)，按 \(\mathbb{R}\) 中的距离是一个不完备的距离空间，命
\[ f(x) = \frac{1}{2}x,\;x \in (0,1). \]
则 \(|f(x_1) - f(x_2)| = \frac{1}{2}|x_1 - x_2|\)，但 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 中没有不动点.
证明严格压缩条件不可少
设 \(X = [1,\infty)\)，按 \(\mathbb{R}\) 中的距离是一个完备的距离空间. 命
\[ f(x) = x + \frac{1}{x},\;x \in [1,\infty), \]
则
\[ |f(x_1) - f(x_2)| = \left| x_1 - x_2 + \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right| , \]
如果 \(x_2 < x_1\)，则 \(\frac{1}{x_1} < \frac{1}{x_2}\)，于是 \(x_1 - x_2 > 0,\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} < 0\)，从而
\[ |f(x_1) - f(x_2)| = \left| x_1 - x_2 + \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right| < |x_1 - x_2| . \]
类似地，当 \(x_1 < x_2\) 时也有
\[ |f(x_1) - f(x_2)| < |x_1 - x_2| . \]
显然 \(f(x)\) 在 \(X\) 上没有不动点.
习题分析
实际上这道题目考察的就是各位同学们对于经典定理核心条件的敏感程度。拿到这道题，我们的思路非常明确：就是去“找茬”，看看如果抽掉定理中的某一块基石，整个建筑会发生怎样的坍塌。在动手之前，我们先重温一下Banach压缩映射原理：
设 \((X,d)\) 是完备距离空间，\(T: X\to X\)，并且对任意 \(x,y\in X\)，恒有不等式 \[d(Tx,Ty)\leq\theta d(x,y)\] 成立，其中 \(0 \le \theta < 1\)，则存在惟一的 \(\bar{x}\in X\)，使得 \(T\bar{x}=\bar{x}\)。
第一问其实非常直观。如果我们的空间不是一个“完备”的距离空间（即空间里到处都是空洞），那么哪怕映射疯狂地向某一点压缩收敛，最后它收敛到的那个点很可能根本就不在这个空间里。这和我们之前提到过的“闭球套的交集最后落入空洞”有着异曲同工之妙。因此，我们只需要找一个开区间，让函数往区间的端点（即不属于空间的点）压缩即可。
而第二问就有点意思了。新条件和原定理的区别到底在哪里？如果我们对原来的式子做一个等价变形，可以得到：
\[\frac{d(Tx,Ty)}{d(x,y)}\leq\theta < 1\]
这个式子说明，原定理要求映射不仅要在压缩，而且它的压缩率必须存在一个严格小于1的上界。这个天花板保证了即使 \(\theta=0.999\)，我们也能确保每次迭代都在稳步、按比例地缩小距离，经过无限次迭代必然能“精准降落”。
如果把条件放宽为 \(d(Tx,Ty)<d(x,y)\)，这就意味着虽然每次迭代的距离都在缩小，但它的压缩率可能会随着迭代的深入而越来越逼近于1。借用微积分的含义，这个压缩率在实数轴上实质上就是函数的导数。如果一个映射的导数在无穷远处趋向于1，它就像是一辆“燃油即将耗尽的汽车”，尽管还在向前滑行，但每一步跨出的距离衰减得极其缓慢。如果这个衰减形成的累积级数是发散的，那么它永远都达不到收敛的终点，永远也触碰不到那个真实的彼岸。所以，我们只需找一个在无穷远处导数趋于1的函数，这道题便迎刃而解了。
标准解答
证明完备性条件不可少
考虑实数轴上的开区间 \(X=(0,1)\)，并赋予通常的绝对值度量 \(d(x,y) = |x-y|\). 由于开区间未包含其边界极限点，它显然是一个不完备的距离空间. 我们在该空间上定义映射 \(f(x) = \frac{1}{2}x\). 由于 \(0 < x < 1\) 时必有 \(0 < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\)，故 \(f\) 确实是映射到 \(X\) 自身的自映射. 对于该空间中的任意两点 \(x, y\)，恒有：
\[ |f(x) - f(y)| = \frac{1}{2}|x - y| \]
这完全满足了压缩映射定理中 \(\theta = \frac{1}{2} < 1\) 的严格压缩条件. 然而，若假设该映射在空间 \(X\) 内存在不动点 \(x\)，则必然满足代数方程 \(x = \frac{1}{2}x\)，解得 \(x = 0\). 但由于原点 \(0 \notin (0, 1)\)，所以映射 \(f\) 在空间 \(X\) 内部根本不存在不动点. 这直观且严格地说明了，即使映射满足极度优良的压缩条件，若空间失去完备性，不动点亦无法在空间内取到.
证明严格压缩条件不可少
选取闭区间 \(X = [1, \infty)\) 并赋予绝对值度量，由于它是实数系中的闭子集，故 \((X, d)\) 构成一个完备距离空间. 我们在此空间上构造映射：
\[ f(x) = x + \frac{1}{x} \]
显然，当 \(x \ge 1\) 时，由函数单调性或直接放缩可知 \(f(x) \ge 1 + 1 = 2 \ge 1\)，故 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(X\) 的自映射. 任取空间 \(X\) 中两个不相等的点 \(x, y\)（即 \(x \neq y\) 且 \(x, y \ge 1\)），我们计算其映射后的度量距离. 利用代数恒等变形：
\[ |f(x) - f(y)| = \left| \left(x + \frac{1}{x}\right) - \left(y + \frac{1}{y}\right) \right| = \left| (x - y) - \frac{x - y}{xy} \right| = |x - y| \left| 1 - \frac{1}{xy} \right| \]
由于 \(x, y \ge 1\) 且两者不相等，必定有乘积 \(xy > 1\). 从而有 \(0 < \frac{1}{xy} < 1\)，进而得到修正系数 \(0 < 1 - \frac{1}{xy} < 1\). 将其代回原式即得严格的不等关系：
\[ |f(x) - f(y)| < |x - y| \]
这说明该映射完美满足了题目中所放宽的 \(d(Tx, Ty) < d(x, y)\) 条件. 但是，若假设该映射存在不动点 \(x\)，则需满足方程 \(x + \frac{1}{x} = x\). 消去 \(x\) 后得到 \(\frac{1}{x} = 0\)，这在实数范围内是无解的. 因此，\(f\) 在空间 \(X\) 上没有任何不动点. 这就证明了在压缩映射原理中，绝对不能将 \(\theta d(x,y)\) 削弱为单纯的严格小于关系.
助教提点
这道反例构造题彻底向我们展露了Banach压缩映射定理在条件设定上的“苛刻”。它不仅要求空间必须完备，还要求全局一致的压缩率 \(\theta<1\)（这自然也保证了映射必然连续）。但在泛函分析的发展史上，这并非终点。1976年，数学家Caristi提出了著名的Caristi不动点定理，它在Banach定理的基础上做出了惊人的推广，甚至允许映射 \(T\) 是不连续的。正如我们在习题 1.14 中所提到过的，它巧妙地引入了一个下半连续的势能泛函，通过“势能下降”的逻辑取代了“距离成比例缩小”的严苛要求，且本质上等价于著名的Ekeland变分原理。如果同学们对这块感兴趣，可以在课后翻阅相关文献，本书在此阶段不作要求，大家大可放心。
回到这道题的第二问，一个极具启发性的思考是：如果在严格压缩条件 \(d(Tx,Ty)<d(x,y)\) 下，我们把“完备度量空间”替换为条件更强的“紧致度量空间”，不动点是否就能重新成立？答案是肯定的，这在拓扑学中被称为Edelstein不动点定理。证明它的核心思路非常精妙：很多同学会下意识地构造比值函数 \(g(x,y)=\frac{d(Tx,Ty)}{d(x,y)}\) 去求最大值，但这个函数在对角线 \(x=y\) 处没有定义，一旦挖去对角线空间就不再紧致，从而导致伪证。真正正确的思路是去考察连续的“位移函数” \(g(x)=d(x,Tx)\)，利用紧致空间上的连续函数必有最小值的性质，再去引出矛盾。这里只给大家提供一个简单的思路框架，实际上如果有往后看的同学，会发现习题 1.20 就是在做这件事，更多详细内容我们到时再讨论。
本题的评分规则非常明晰，两问完全对等，重点均在于“构造实例”并“证明其失效”。如果这道题是一道10分的考题，每一问各占5分。具体细则为：在每一问中，能够准确构造出对应的空间并给出满足特定条件的映射函数得2分；能够通过严格推导，证明该映射满足给定条件，并准确证明其在指定空间中无解（不动点失效）得3分。