泛函分析习题讲解 习题1.13

习题题面

设 \(F_1,F_2\) 是距离空间 \(X\) 中不相交的闭集，证明存在 \(X\) 上的连续函数 \(f(x)\)，使得当 \(x\in F_1\) 时 \(f(x)=0\)，当 \(x\in F_2\) 时 \(f(x)=1\).

教材参考答案

记 \(d(x,F_1)=\inf\limits_{y\in F_1}d(x,y)\)，\(d(x,F_2)=\inf\limits_{y\in F_2}d(x,y)\)，则

\[ d(x,F_1)+d(x,F_2)\neq0, \]

因为不然必有 \(d(x,F_1)=d(x,F_2)=0\)，由于 \(F_1,F_2\) 是闭集，将有 \(F_1\cap F_2\neq\varnothing\)，这与题设矛盾. 命

\[ f(x)=\frac{d(x,F_1)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}\quad(x\in X), \]

则由习题 12 的结果可知，\(f(x)\) 即为所要求的连续函数.

习题分析

书接上回，在上一题中我们埋下过一个伏笔，距离泛函 \(d_A(x)=\inf_{y\in A}d(x,y)\) 有一个非常“因吹斯听”（interesting）的拓扑性质，即 \(d_A(x)=0\) 的充要条件是 \(x\in\bar{A}\)。特别地，当 \(A\) 为闭集时，这就等价于 \(x\in A\)。而本题已知 \(F_1\) 和 \(F_2\) 都是闭集且互不相交，其中一个核心目标是，当 \(x\in F_1\) 时，\(f(x)=0\)。这就给我们提供了一个极其强烈的暗示：我们要找的函数一定与上一题的距离泛函脱不了干系。

数学解题往往始于大胆的尝试，只要有不断坚持的衡心和耐心，就一定能够寻得真相，实现自我的价值。既然要求在 \(F_1\) 上为0，我们不妨果断地令函数为 \(f(x) = d_1(x) = \inf_{y \in F_1} d(x,y)\)，这样条件一瞬间就满足了。但条件二显得有些棘手：如何让点 \(x\) 跑到 \(F_2\) 里时，整个函数值恰好变成1？要知道，点在 \(F_2\) 中移动时，它到 \(F_1\) 的距离 \(d_1(x)\) 绝对是个不断变化的未知数，不一定恰好是1。这说明单靠一个距离函数是不够的，我们需要一种能把“任意常数强行拉回到1”的数学机制。

这种机制大家其实早已烂熟于心。回想一下高等代数中，我们是如何把一个任意非零向量 \(\mathbf{a}\) 变成单位向量的？没错，就是除以它自身的范数，即 \(\mathbf{e} = \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}\)。这种“归一化（比例法）”技巧在数学分析中极其常用。顺着这个思路，答案就呼之欲出了：我们需要构造一个分母。当 \(x\in F_2\) 时，只要能让分子的 \(d_1(x)\) 与整个分母完全相等，比值自然就变成了1。再结合 \(x \in F_2 \implies d_2(x) = \inf_{y \in F_2} d(x,y) = 0\) 的性质，我们只需在分母中加上 \(d_2(x)\) 即可起到“牵制”作用。

标准解答

令 \(d_1(x) = \inf_{y \in F_1} d(x,y)\)， \(d_2(x) = \inf_{y \in F_2} d(x,y)\). 由习题 12 的结论已知，\(d_1(x)\) 和 \(d_2(x)\) 都是全空间 \(X\) 上的连续实值函数. 我们构造如下比例函数：

\[ f(x) = \frac{d_1(x)}{d_1(x) + d_2(x)} \quad (x \in X) \]

首先，我们需要证明函数 \(f(x)\) 满足良定义，即分母处处不为0. 我们使用反证法. 假设存在某点 \(x \in X\)，使得分母 \(d_1(x)+d_2(x)=0\). 由于距离泛函的非负性恒有 \(d_1(x) \ge 0\) 且 \(d_2(x) \ge 0\)，若两者之和为 0，必有

\[d_1(x) = 0 \text{ 且 } d_2(x) = 0\]

由 \(d_1(x) = \inf_{y \in F_1} d(x,y) = 0\) 可知，必定存在序列 \(\{y_n\} \subset F_1\) 使得

\[\lim_{n \to \infty} d(x, y_n) = 0\]

这说明点 \(x\) 是集合 \(F_1\) 的极限点. 又因已知 \(F_1\) 是闭集（闭集包含其所有极限点），故必有 \(x \in F_1\). 同理可推证出 \(x\in F_2\). 这导致 \(x\in F_1\cap F_2\)，即 \(F_1\cap F_2\neq\emptyset\)，这与题设中“\(F_1, F_2\) 是不相交的闭集”的前提产生严重矛盾. 由此可知假设不成立，对于任意的 \(x \in X\)，分母 \(d_1(x)+d_2(x)>0\)，从而保证了函数 \(f(x)\) 的良定义.

在确认函数良定义之后，我们来探讨其连续性. 因为 \(d_1(x)\) 和 \(d_2(x)\) 均为连续函数，根据分析学中的连续函数运算法则可知，两连续函数之和 \(d_1(x) + d_2(x)\) 依然是连续的. 同时，连续函数相除，在其分母不为0处也依然保持连续. 由前文已证分母处处大于0，故推导出 \(f(x)\) 是全空间 \(X\) 上的连续函数.

最后，我们验证该函数是否满足题目所要求的边界条件. 当 \(x \in F_1\) 时，因点 \(x\) 就在集合自身内，故 \(d_1(x) = 0\). 又因 \(F_1\cap F_2=\emptyset\)，可知 \(x\notin F_2\)，由闭集性质得到 \(d_2(x)>0\). 此时代入函数定义式得到

\[f(x) = \frac{0}{0 + d_2(x)} = 0\]

同理，当 \(x\in F_2\) 时，有 \(d_2(x)=0\)，且因 \(x\notin F_1\) 推得 \(d_1(x)>0\). 此时代入定义式即有

\[f(x) = \frac{d_1(x)}{d_1(x) + 0} = 1\]

综上所述，构造的函数 \(f(x)\) 满足题目的一切要求.

助教提点

接下来是拓展科普环节。实际上，这道看似简单的习题，是泛函分析与点集拓扑中一个极其著名的定理——Urysohn引理（乌雷松引理）在距离空间中的特例形式。它从根本上证明了“距离空间必然是正规空间（\(T_4\) 空间）”，并为后续泛函分析中大名鼎鼎的Tietze扩张定理（以及单位分解技术）奠定了绝对基石。如果大家对这背后的深刻拓扑内涵感兴趣，推荐翻阅普林斯顿大学 Elias M. Stein 教授的《泛函分析》一书中关于 \(C(X)\) 对偶空间的精彩论述，虽然我看不懂。

此外，思维活跃的同学可能会问，除了这个特定的构造，还有没有别的函数？答案是有的。比如说下边这个函数：

\[ g(x) = \frac{d_1(x)-d_2(x)}{d_1(x)+d_2(x)} \]

这个函数实际上是我们构造出的 \(f(x)\) 去做线性变换得到，即 \(g(x) = 1 - 2f(x)\)。而如果需要我们跳出下确界函数的框架，实际上只要满足“连续”且“\(f(x)=0 \iff x \in \bar{A}\)”这两个核心条件，我们就可以利用平方构造、指数构造甚至现代分析学中的“磨光函数（卷积）”来捏出无数个符合条件的函数。但对于目前的学习阶段，利用下确界距离的“归一化构造”无疑是最直观、最优雅的。

从期末考试的阅卷视角来看，若本题作为一道10分的期末大题，只要大家构造出符合题意本质的函数即可按步得分。具体的给分分布为：能够准确写出归一化的距离泛函表达占2分；利用闭集和不相交性质，严密反证分母 \(d_1(x) + d_2(x) \neq 0\) 以证明函数良定义占2分；明确指出分子分母连续且分母不为零，利用运算法则得出总体连续占2分（需要特别提示的是，很多同学在作答时极易漏写连续性证明这一步，导致无谓失分）；最后，准确代入验证 \(x\in F_1\) 时的零点与 \(x\in F_2\) 时的单位点，这两个边界条件的验证分别占2分，共计4分。