泛函分析习题讲解 习题1.12
习题题面
设\((X,d)\)是距离空间，\(A\subset X\)，令
\[ f(x)=\inf\limits_{y\in A}d(x,y)\quad(x\in X) \]
证明\(f(x)\)是\(X\)上的连续函数.
教材参考答案
设 \(x_1,x_2\in X\) ,则 \(\forall y\in A\) .
\[ d(x_1,y)\leq d(x_1,x_2)+d(x_2,y), \]
因此,
\[ \inf_{y\in A}d(x_1,y)\leq d(x_1, x_2)+\inf_{y\in A}d(x_2,y). \]
类似地有
\[ \inf_{y\in A}d(x_2,y)\leq d(x_1,x_2)+\inf_{y\in A}d(x_1,y). \]
所以
\[ \left| \inf_{y\in A}d(x_1,y)-\inf_{y\in A}d(x_2,y)\right|\leq d(x_1,x_2). \]
由此可知,
\[ f(x)=\inf_{y\in A}d(x,y)\text{ 是 }X\text{ 上的连续函数.} \]
习题分析
许久未见的课本参考答案终于回归了，我们终于又可以愉快得来对教材的答案来做
批判 学习了。
细读课本给出的解答，相信很多同学会感到一丝困惑。课本推导出的结论 \(|f(x_1)-f(x_2)| \le d(x_1,x_2)\)，似乎与我们熟知的连续函数定义并未直接对齐。回顾经典的 \(\varepsilon-\delta\) 连续性定义，要求的是对于 \(\forall \varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(d(x, x_0) \le \delta\) 时，有 \(d_1(f(x), f(x_0)) < \varepsilon\)。课本答案在得出绝对值不等式后便戛然而止，直接宣布函数连续，这实质上是一个严重的逻辑跳步。
要跨过这个跳步，我们需要补全一个极其重要的背景视角：这个距离泛函 \(f(x)\) 本质上是一个由距离空间 \((X, d)\) 映射到实数域 \((\mathbb{R}, d_1)\) 的函数。这意味着，目标空间的度量 \(d_1(f(x), f(x_0))\) 正是传统数学分析中的绝对值距离 \(|f(x) - f(x_0)|\)。
理解了这一点，我们就豁然开朗了。课本最终推导出的不等式 \(|f(x_1)-f(x_2)| \le d(x_1,x_2)\)，在泛函分析中拥有一个更为强大的名字，叫利普希茨连续。因为前方的系数为 \(1\)（即利普希茨常数 \(L=1\)），这意味着函数值的波动永远不会超过自变量之间的距离。一旦拥有了这个强力的不等式，无论是利用 \(\varepsilon-\delta\) 语言（直接令 \(\delta=\varepsilon\) 即可），还是利用序列连续性 \(\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)\) 配合夹逼定理，都能极其轻松地将连续性的证明彻底闭环。至于这道题前置不等式的推导，核心手法就是三角不等式与下确界（\(\inf\)）的保号性操作。
标准解答
由于教材参考答案在最后一步缺乏严谨的拓扑连续性过渡，以下提供补充完善后的两种标准证明论述. 考场作答时，在推导出核心不等式后，任选一种过渡方式均可.
设 \(x_1, x_2\) 为度量空间 \(X\) 中的任意两点. 针对集合 \(A\) 中的任意一点 \(y \in A\)，由距离空间的三角不等式公理恒有：
\[ d(x_1, y) \le d(x_1, x_2) + d(x_2, y) \]
由于上述不等式对一切 \(y \in A\) 均成立，且 \(d(x_1, x_2)\) 对于变量 \(y\) 而言是固定的常数，我们对不等式两边同时关于 \(y \in A\) 取下确界（\(\inf\)），不等号方向保持不变：
\[ \inf_{y \in A} d(x_1, y) \le \inf_{y \in A} \big[ d(x_1, x_2) + d(x_2, y) \big] \\ \inf_{y \in A} d(x_1, y) \le d(x_1, x_2) + \inf_{y \in A} d(x_2, y) \]
根据函数定义 \(f(x) = \inf_{y \in A} d(x,y)\)，上式即化为：
\[ f(x_1) \le d(x_1, x_2) + f(x_2) \]
移项整理可得：
\[ f(x_1) - f(x_2) \le d(x_1, x_2) \quad \tag{1} \]
同理，由于点 \(x_1\) 与 \(x_2\) 在推导中的地位是对称的，互换两点位置即可完全对称地得到：
\[ f(x_2) - f(x_1) \le d(x_2, x_1) \]
由距离的对称性公理 \(d(x_2, x_1) = d(x_1, x_2)\)，上式可等价改写为：
\[ -(f(x_1) - f(x_2)) \le d(x_1, x_2) \quad \tag{2} \]
综合 式(1) 与 式(2)，我们得出了控制函数波动的全局绝对值核心不等式：
\[ |f(x_1) - f(x_2)| \le d(x_1, x_2) \]
接下来利用该核心不等式，证明 \(f(x)\) 在全空间上的连续性.
证法一：\(\varepsilon-\delta\) 定义法
函数 \(f\) 是由度量空间 \((X, d)\) 到实数空间 \((\mathbb{R}, d_1)\) 的映射，其中实数域的默认度量为 \(d_1(a,b) = |a - b|\).
任取空间 \(X\) 中的固定点 \(x_0\)，并任给精度 \(\varepsilon > 0\). 我们直接取定 \(\delta = \varepsilon > 0\).
当 \(X\) 中的点 \(x\) 满足 \(d(x, x_0) < \delta\) 时，根据上述推导的核心不等式，必然有：
\[ d_1(f(x), f(x_0)) = |f(x) - f(x_0)| \le d(x, x_0) < \delta = \varepsilon \]
这完美满足了映射在点 \(x_0\) 处连续的 \(\varepsilon-\delta\) 定义条件. 由于 \(x_0\) 为任意选取，故 \(f(x)\) 是 \(X\) 上的连续函数.
证法二：序列连续性法
在度量空间中，函数的处处连续等价于序列连续.
任取 \(X\) 中的序列 \(\{x_n\}\)，假设其在 \(X\) 中收敛于点 \(x\)，即当 \(n \to \infty\) 时，\(\lim_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0\).
将序列项 \(x_n\) 与极限点 \(x\) 代入核心不等式中，得：
\[ 0 \le |f(x_n) - f(x)| \le d(x_n, x) \]
对上式两端同时取 \(n \to \infty\) 的极限. 由于 \(d(x_n, x) \to 0\)，根据数列极限的夹逼定理（Squeeze Theorem）立刻可知：
\[ \lim_{n \to \infty} |f(x_n) - f(x)| = 0 \implies \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x) \]
这证明了极限运算与函数映射可以交换顺序，故 \(f(x)\) 处处连续.
助教提点
这道题目虽然证明篇幅不长，但它所揭示的数学内涵却非常丰富。正如我们在习题分析中所指出的，课本答案实际上证明了一个极其强大的性质：函数 \(f(x)\) 满足常数 \(L=1\) 的利普西茨连续（Lipschitz连续）条件。在分析学的连续性阶梯中，Lipschitz连续是比普通连续、甚至比一致连续都要强烈的多的“光滑性”条件。大家在标准解答中也可以看到，我们最终选取的 \(\delta = \varepsilon\)，这个 \(\delta\) 的取值完全不依赖于基准点 \(x_0\) 的位置，这正是函数在全空间上达到“一致连续”的铁证。
另外，大家务必要把 \(f(x)=\inf_{y\in A}d(x,y)\) 这个函数给深深得刻进DNA里。这个距离泛函蕴含着一个极为深刻的几何拓扑性质，即 \(f(x)=0\) 的充要条件是 \(x\in\bar{A}\)（即 \(x\) 属于集合 \(A\) 的闭包）。特别地，如果 \(A\) 本身就是一个闭集，那么 \(f(x)=0 \iff x\in A\)。这个性质是将拓扑关系代数化的超级利器，我们在下一道习题中立刻就会大显身手，大家可以提前思考一下。
从期末考试的阅卷视角来看，如果这是一道满分为5分的证明题，踩分点将出现极为明确的“三二定律”划分：
- Lipschitz不等式推导（3分）：能够熟练使用三角不等式，并利用下确界（\(\inf\)）的保号性质，严密推导出 \(|f(x_1) - f(x_2)| \le d(x_1, x_2)\)。
- 连续性定义的严格过渡（2分）：完成了Lipschitz条件的推导，必须明确指出函数是向实数域 \(\mathbb{R}\) 的映射，并利用 \(\varepsilon-\delta\) 语言或序列极限的夹逼定理，将Lipschitz不等式严丝合缝地扣回到连续性的原始定义上。缺乏这一步过渡，在严格的阅卷中必定会被扣除2分的逻辑严谨分。