泛函分析习题讲解 习题1.23
习题题面
试举一拓扑空间的例，它是 \(T_2\) 的但不是 \(T_3\) 的.
教材参考答案
在 \([0,1]\) 区间中，除点0以外的其他点都用通常方式定义它的邻域，把其中去掉形如 \(\frac{1}{n}\,(n=1,2,\cdots)\) 的这样的点的所有可能的半开区间 \([0,\alpha)\) 作为0的邻域，显然这是一个 \(T_2\) 空间，但是其中的点0与不包含它的闭集 \(\left\{\frac{1}{n}\right\}\) 不能用不相交的邻域来分离，所以它不是 \(T_3\) 的.
习题分析
学过分离公理的同学对于几个 \(T\) 空间的概念应当不会陌生。在泛函分析的初期学习中便可知，\(T_2\) 空间即Hausdorff空间，要求空间中任意两个不同的点均可被互不相交的开集分离；而 \(T_3\) 空间指的是正则的 \(T_1\) 空间，要求空间中任意一点与不包含该点的闭集能被互不相交的开集分离。如果想要寻找满足 \(T_2\) 但不满足 \(T_3\) 的拓扑空间，就意味着需要构造一种在分离“点与点”时条件充分，但在分离“点与闭集”时却出现逻辑断裂的空间结构。
不妨从底层的拓扑逻辑深挖该现象的成因。假设当前存在一个 \(T_2\) 空间，且点 \(x\) 落在闭集 \(A\) 之外。根据 \(T_2\) 空间的性质，对于闭集 \(A\) 里的每一个点 \(y\)，必定存在一对互不相交的开集 \(U_y\)（包含 \(x\)）和 \(V_y\)（包含 \(y\)）。此时，若试图把点 \(x\) 与整个庞大的闭集 \(A\) 彻底分离，最顺理成章的思路便是从局部走向整体：为了构造一个能覆盖整个 \(A\) 的大开集 \(V\)，自然会将所有覆盖局部点 \(y\) 的 \(V_y\) 汇聚起来取并集，即令 \(V = \bigcup_{y \in A} V_y\)。
根据拓扑公理，开集的任意并集仍是开集，故大开集 \(V\) 显然合法。然而，代价也随之而来：为确保包裹 \(x\) 的开集 \(U\) 能够与整个大开集 \(V\) 互不相交，\(U\) 必须严苛地同时避开所有的 \(V_y\)。既然每一个 \(U_y\) 都能精准避开与之对应的 \(V_y\)，最合乎逻辑的做法便是让 \(U\) 成为所有这些 \(U_y\) 的交集，即令 \(U = \bigcap_{y \in A} U_y\)。
正是在这里，拓扑学中一个极其隐蔽的陷阱悄然显现：开集的任意并集固然是开集，但无限个开集的交集却无法保证仍为开集。若闭集 \(A\) 包含无限个点，并且在某种度量意义下无限逼近于点 \(x\)，那么为了避开 \(A\) 中的每一个点，包含 \(x\) 的开集 \(U_y\) 将被迫不断收缩。在经历无限次交集运算后，\(U\) 极有可能塌缩成一个没有内部的孤立点，从而彻底丧失开集的性质。
顺着这一绝妙的拓扑直觉，反例的构造思路便水到渠成：只需在实数轴上寻找一个无限逼近原点0的数列，随后对拓扑结构进行微调，在原点0的所有邻域中强制剔除该数列，使其成为一个不包含0的闭集。如此一来，当试图用两个开集分别包裹原点与该数列时，受制于实数轴的稠密性，这两个开集必定发生不可避免的渗透与重叠，从而永远无法实现分离。
标准解答
为构造满足 \(T_2\) 分离公理但不满足 \(T_3\) 分离公理的拓扑空间，现于闭区间 \(X=[0,1]\) 上引入一种特殊的拓扑结构. 对于区间中除原点外的任意一点 \(x\in(0,1]\)，规定其基本开邻域与常规欧几里得拓扑一致，即形如 \((x-\varepsilon, x+\varepsilon) \cap X\) 的普通开区间.
对于原点 \(x=0\)，定义其基本开邻域为右半开区间扣除特定的离散数列集合 \(A = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \}\)，即形如：
\[ U_\varepsilon(0) = [0, \varepsilon) \setminus A \]
由上述基本邻域构成的拓扑基所生成的拓扑空间，记为 \((X,\tau)\).
现证该空间 \((X,\tau)\) 满足 \(T_2\) 分离公理. 任取空间中两个互异点 \(x\) 与 \(y\). 当 \(x\) 与 \(y\) 均不为 \(0\) 时，因其基本邻域与实数轴常规邻域相同，显然可选取互不相交的开区间将两点分离.
当其中一点为原点时，不妨设 \(x=0\) 且 \(y>0\). 若 \(y\notin A\)，由于 \(A\) 中的点仅在 \(0\) 处凝聚，必然可选取 \(y\) 的常规开邻域 \(V\)，使其既不包含 \(0\) 亦完美避开离散集合 \(A\)；同时取 \(0\) 的基本邻域 \(U = [0, y/2) \setminus A\)，此时显然有：
\[ U \cap V = \emptyset \]
若 \(y \in A\)（即 \(y\) 为形如 \(1/n\) 的点），则选取 \(y\) 的常规开邻域 \(V = (y-\delta, y+\delta)\) 使得其避开 \(A\) 中的其他所有点与 \(0\)；对于原点，直接选取基本邻域 \(U=[0,1)\setminus A\). 因该邻域已明确挖去所有形如 \(1/n\) 的点，故 \(y\notin U\)，从而亦有 \(U\cap V=\emptyset\). 综上所述，空间中任意互异两点均可被互不相交的开集分离，故 \((X,\tau)\) 为 \(T_2\) 空间.
下证集合 \(A = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \}\) 在该拓扑下为闭集. 论证 \(A\) 为闭集，等价于证明其补集 \(X \setminus A\) 为开集. 任取补集中的一点 \(x \in X \setminus A\).
若 \(x = 0\)，依拓扑定义存在基本邻域 \(U_\varepsilon(0) = [0, \varepsilon) \setminus A\)，该邻域显然完全包含于补集 \(X \setminus A\) 内部. 若 \(x>0\) 且 \(x \notin A\)，由于 \(A\) 在 \((0,1]\) 上无聚点，必定存在足够小的普通开区间 \((x-\delta, x+\delta)\)，使其内部不含有 \(A\) 中的任何元素，即：
\[ (x-\delta, x+\delta) \subset X \setminus A \]
既然补集 \(X \setminus A\) 中的每一点均存在完全包含于该集合的开邻域，故 \(X \setminus A\) 为开集，进而推得 \(A\) 为严格的闭集. 且依定义，原点 \(0\) 显然不属于闭集 \(A\).
最后证原点 \(0\) 与不包含它的闭集 \(A\) 无法被开集分离，从而破坏 \(T_3\) 性质. 假设该空间满足 \(T_3\) 分离公理，则必定存在互不相交的开集 \(U\) 和 \(V\)，使得 \(0 \in U\) 且 \(A \subset V\). 因 \(U\) 为包含原点 \(0\) 的开集，其必然包含 \(0\) 的某个基本邻域，即存在正数 \(\varepsilon > 0\)，使得：
\[ [0, \varepsilon) \setminus A \subset U \]
同时，因 \(A \subset V\)，对于集合 \(A\) 中满足 \(\frac{1}{n} < \varepsilon\) 的点（由实数系阿基米德性质知其有无穷多个），必然均包含在开集 \(V\) 内. 任取其中一点 \(\frac{1}{n} \in V\). 因 \(V\) 为开集且 \(\frac{1}{n} \neq 0\)，\(V\) 必然包含该点的一个常规开区间邻域，即存在 \(\delta > 0\)，使得：
\[ \left(\frac{1}{n} - \delta, \frac{1}{n} + \delta\right) \subset V \]
考察开区间 \((\frac{1}{n} - \delta, \frac{1}{n} + \delta)\)，基于实数轴的稠密性与不可数性，该区间内必定密布着大量不属于离散集合 \(A\) 的实数（如各类无理数）. 此类实数既然落在该开区间内，自然属于集合 \(V\)；与此同时，此类实数介于 \((0, \varepsilon)\) 之间且不属于 \(A\)，故必然亦落入 \([0, \varepsilon) \setminus A\) 的范畴，从而成为集合 \(U\) 的元素. 由此推知：
\[ U \cap V \neq \emptyset \]
此结论与 \(U\) 和 \(V\) 互不相交的假设产生不可调和的矛盾. 因此，点 \(0\) 与闭集 \(A\) 无法被互不相交的开集彻底分离，该空间非 \(T_3\) 空间.
助教提点
本题的设立旨在培养对分离公理的深刻数学直觉与敏锐度。在抽象的拓扑学中，将空间划分为不同的分离层级（如 \(T_2\) 与 \(T_3\)），并非为了堆砌繁复的定义，而是为了精准刻画空间内部“点与点”、“点与闭集”之间分离能力的精细差异。剖析这些空间的归属与层级关系，探究其背后的拓扑属性，能够极大提升对拓扑结构的洞察力。正如解答中所揭示的，一旦掌握了“无限交集未必为开集”这一底层逻辑，便可如法炮制出无数个具备相似分离缺陷的拓扑空间。因此，学习的重心不应局限于死记某一个特定的反例构造，而应掌握如何利用既定的拓扑性质去定向塑造所需的空间结构，并能够严密地验证其有效性。
基于反例构造的开放性特征，期末考试的阅卷标准绝不会僵化地局限于某一种特定的空间构造，而是严格聚焦于论证逻辑的有效性与严密度。若本题满分为5分，评分重心将均匀分布于构造与验证的各个环节：能够清晰给出空间构造，并准确说明其满足相应分离公理之良定义前提的，可获1分；严密分类论证该空间满足 \(T_2\) 分离性质，得2分；准确抓准拓扑矛盾点，并逻辑自洽地论证其不满足 \(T_3\) 性质，得2分。唯有在每一步的验证中均做到无懈可击，方可取得满分。