泛函分析习题讲解 习题1.21
习题题面
设 \(X=\{a,b\}\)，\(\tau=\{X,\emptyset,\{b\}\}\)，证明：
- \(\tau\) 是 \(X\) 上的一个拓扑；
- \(\{a\}\) 是闭集；
- \(\overline{\{b\}}=X\).
教材参考答案
- 易验证.
- 由于 \(\{a\}=C\{b\}\)，所以 \(\{a\}\) 是闭集.
- \(a\) 点仅有的邻域为 \(X\) 且显然包含点 \(b\)，因此 \(a\in\overline{\{b\}}\) 故，\(\overline{\{b\}}=X\).
习题分析
从这道极其简短的习题开始，我们正式踏入了“拓扑空间”的大门。
回顾我们之前在度量空间中的学习，开集是通过“距离”和“开球”来定义的。但在更加抽象的拓扑学中，数学家们做了一个极其大胆的规定：我们直接抛弃距离，把全空间 \(X\) 中的某些子集人为地“钦定”为开集，只要这些子集构成的集合族 \(\tau\) 满足三条基本公理，\(\tau\) 就被称为一个拓扑。这种规定赋予了我们在分析空间结构时极大的灵活性。
面对第一问，思路毫无悬念：直接迎难而上，严格依照拓扑的三条公理（全集空集在其中、任意并封闭、有限交封闭）进行穷举验证即可。第二问则直接考察了拓扑空间中闭集的最根本定义——开集的补集即为闭集。
本题的精髓在于第三问：求单点集 \(\{b\}\) 的闭包。在度量空间中，我们习惯于用极限点来找闭包；而在纯拓扑空间中，我们通常有两种武器：一是利用邻域定义（即包含该点的开集），二是利用闭集的性质。正如教材参考答案所示，利用邻域法考察点 \(a\) 是完全可行的。但对于初学者而言，“邻域”的概念在反直觉的抽象空间中极易发生混淆。因此，这里更推荐大家使用第二种思路，即闭包等于包含该集合的所有闭集的交集（即最小闭集）。在这个只有两三个闭集的微型空间里，用交集法求闭包不仅直观，而且绝对不会出错。
标准解答
证明 \(\tau\) 是 \(X\) 上的一个拓扑
要证明 \(\tau = \{X, \emptyset, \{b\}\}\) 是集合 \(X = \{a,b\}\) 上的一个拓扑，我们需要严格验证拓扑结构的三条基本公理.
首先，全集 \(X\) 与空集 \(\emptyset\) 均明确包含在集合族 \(\tau\) 中，满足第一条公理.
其次，验证任意并集封闭性. 由于 \(\tau\) 中仅有三个元素，我们穷举其所有可能的并集组合：
\[ \emptyset \cup \{b\} = \{b\} \in \tau \\ \emptyset \cup X = X \in \tau \\ \{b\} \cup X = X \in \tau \\ \emptyset \cup \{b\} \cup X = X \in \tau \]
显然，族 \(\tau\) 中任意元素的并集依然属于 \(\tau\).
最后，验证有限交集封闭性，同样穷举所有可能的交集组合：
\[ \emptyset \cap \{b\} = \emptyset \in \tau \\ \emptyset \cap X = \emptyset \in \tau \\ \{b\} \cap X = \{b\} \in \tau \\ \emptyset \cap \{b\} \cap X = \emptyset \in \tau \]
所有有限交集也均属于 \(\tau\). 综合上述三点，\(\tau\) 满足拓扑空间的全部定义公理，故 \(\tau\) 是 \(X\) 上的一个拓扑.
证明 \(\{a\}\) 是闭集
在拓扑空间中，闭集被严格定义为开集的补集. 因为集合 \(\{b\} \in \tau\)，所以 \(\{b\}\) 是该拓扑空间中的一个开集. 我们计算该开集在全空间 \(X = \{a, b\}\) 中的补集：
\[ X \setminus \{b\} = \{a\} \]
由于开集的余集必然是闭集，因此我们立刻得出结论：\(\{a\}\) 是该空间中的闭集.
证明 \(\overline{\{b\}}=X\)
关于集合 \(\{b\}\) 的闭包 \(\overline{\{b\}}\)，我们提供两种等价的拓扑学证明视角.
证法一：邻域法
集合 \(\{b\}\) 的闭包由 \(\{b\}\) 自身及其所有的接触点构成. 显然 \(b \in \overline{\{b\}}\). 我们着重考察点 \(a\) 是否为接触点. 在拓扑 \(\tau = \{X, \emptyset, \{b\}\}\) 中，包含了点 \(a\) 的开集（即 \(a\) 的邻域）唯有全空间 \(X\). 由于这个唯一的邻域 \(X\) 中显然包含了集合 \(\{b\}\) 中的点（即点 \(b\)），这意味着点 \(a\) 的所有邻域都与 \(\{b\}\) 有非空交集. 根据定义，点 \(a\) 是集合 \(\{b\}\) 的接触点，故 \(a \in \overline{\{b\}}\). 由此可得 \(\overline{\{b\}} = \{a, b\} = X\).
证法二：闭集法
集合的闭包等价于包含该集合的所有闭集的交集（即最小闭集）. 我们首先找出拓扑空间 \((X, \tau)\) 中的全体闭集族. 通过对 \(\tau\) 中所有开集取补集，可知该空间仅有三个闭集，分别为 \(\emptyset\)、\(X\) 以及 \(\{a\}\). 现在我们需要在这些闭集中，寻找包含了元素 \(b\) 的闭集. 显然，\(\emptyset\) 与 \(\{a\}\) 都不包含 \(b\)，唯有全空间 \(X\) 包含了 \(b\). 因此，包含集合 \(\{b\}\) 的最小闭集就是 \(X\) 自身，即严格证明了 \(\overline{\{b\}} = X\).
助教提点
这道习题虽然在证明上极为简单，但它的核心使命，是要彻底击碎同学们脑海中对“欧氏距离”的刻板印象。在普通的度量空间里，点与点之间的地位是绝对对等的。但在拓扑空间中，因为开集是人为强制规定的，点与点之间可以变得“极度不平等”。
事实上，这道题所构造的拓扑空间，就是我们熟悉的谢尔宾斯基空间（Sierpiński space）。随着后续课程向分离公理推进，大家很快就会发现这个空间的奇妙之处：它显然不是 \(T_1\) 空间。在 \(T_1\) 空间中，任意两个不同的点都必须能找到一个不包含对方的开集。但在谢尔宾斯基空间里，我们能找到一个开集 \(\{b\}\) 包含 \(b\) 而不包含 \(a\)，但却绝对找不到任何一个开集包含 \(a\) 而不包含 \(b\)！既然它连 \(T_1\) 都不是，那自然也绝不可能是豪斯多夫空间（\(T_2\) 空间）。
无论多抽象的空间，在证明其拓扑性质时，唯有脚踏实地、严格依照定义进行推演，才是唯一的正途，这也是数学这座大厦能够历经风雨而屹立不倒的根本原因。从期末考试的阅卷标准来看，本题属于基础概念验证题。如果像教材答案一样直接写显然的话，显然是不会得分的。若总分为10分，踩分点将非常明确：第一问中，指明全集和空集得1分，完整穷举并验证并集封闭得2分，交集封闭得2分（共5分）；第二问中，明确利用开集补集定义得出闭集结论得2分；第三问中，无论是利用邻域定义还是最小闭集定义，只要逻辑自洽地得出 \(\overline{\{b\}} = X\)，即可得3分。
思考题
为什么谢尔宾斯基空间满足“正规性质（Normal）”，却不满足“正则性质（Regular）”？
【提示】
正规性质要求“任意两个不相交的非空闭集，都能被两个不相交的开集分离”。请大家仔细数一数，这个空间里有哪怕一对“不相交的非空闭集”吗？如果没有，那正规性质在逻辑学上就叫做“空洞成立（Vacuously true）”。而正则性质要求“点与不包含该点的闭集能被开集分离”，试着用点 \(b\) 和闭集 \(\{a\}\) 去验证一下，相信会瞬间豁然开朗。