泛函分析习题讲解 习题1.10
习题题面
证明距离空间的完备子空间是闭子空间.
习题分析
很遗憾，这道题目教材依旧没有给参考答案，但还好这道题目字数比较少，我们想要对他做分析也是不是特别麻烦的。
很多同学看到本题，会下意识地联想到课本上的另一个经典结论，即完备距离空间的任一闭子空间也是完备的。在某种直观体验上，这道题似乎正是该结论的“逆命题”。但我们要特别指出两点分析学上的深刻差异，这也正是写好本题证明的指导思想。
首先，请注意本题对全空间 \(X\) 没有提出任何完备性要求。经典命题要求全空间 \(X\) 必须完备；而对于本题，无论母空间 \(X\) 本身是完备的，还是这一个洞那一个洞的（不完备的），只要子空间 \(Y\) 凭借自身度量成为了完备空间，它在 \(X\) 中就必定是个闭集。这深刻揭示了完备性是度量空间的“绝对内蕴性质”（不依赖于外界如何嵌入），而闭性是相对于全空间的“相对拓扑性质”——自身的绝对完备，能够直接推测出在外部空间中的相对封闭。
其次，在具体论证手段上，必须让定义之间形成严密的闭环。在距离空间中，闭集最实用的特征是对收敛序列封闭——即集合中的任意收敛点列，其在全空间中的极限点仍属于该集合本身；而完备子空间意味着子集中任意Cauchy列均在子集内部存在极限。
因此，我们的解题路径一目了然：在子空间 \(Y\) 中任取一个在全空间 \(X\) 中收敛于点 \(x\) 的序列；由于收敛列必然是Cauchy列，该序列便成为 \(Y\) 中的Cauchy列；再借由 \(Y\) 的完备性，得知该序列必须收敛到 \(Y\) 内部的某个点 \(y\)。最终，根据距离空间极限的唯一性，得出 \(x = y \in Y\)，从而完美封闭整个推理流程。
标准解答
下面提供两种论证逻辑完全等价、但切入角度有所不同的证明表述方法. 考场作答时任选其一即可.
证法一：序列收敛封闭法
设 \((X,d)\) 是任意一个距离空间，\(Y \subset X\) 为该空间的任一完备子空间. 我们需要证明 \(Y\) 是全空间 \(X\) 中的闭子集.
根据度量空间中闭集的序列刻画性质，一个子集为闭集，当且仅当该子集中任意收敛序列的极限点依然属于该子集. 因此，对任意选取包含于子空间 \(Y\) 的序列 \(\{y_n\}_{n=1}^\infty \subset Y\)，假设其在全空间 \(X\) 中收敛于某一点 \(x \in X\)，即满足：
\[ \lim_{n \to \infty} y_n = x \]
我们只需证明极限点 \(x \in Y\) 即可.
由于序列 \(\{y_n\}\) 在距离空间 \((X, d)\) 中是收敛序列，由收敛列必然是基本列的性质可知，\(\{y_n\}\) 必定是一个Cauchy列. 即对于任意预先给定的 \(\varepsilon > 0\)，皆存在正整数 \(N\)，使得当所有下标 \(m, n > N\) 时，均成立 \(d(y_m, y_n) < \varepsilon\).
注意到全序列 \(\{y_n\}\) 的每个元素均属于子空间 \(Y\). 已知 \(Y\) 是一个完备子空间，依完备性定义，子集内部的任何Cauchy列都必须收敛于该子集内部的某个点. 故必存在点 \(y \in Y\)，使得在度量空间 \((Y, d)\) 中有：
\[ \lim_{n \to \infty} y_n = y \]
至此，同一个无穷序列 \(\{y_n\}\) 在度量空间 \((X, d)\) 中既收敛到点 \(x \in X\)，又收敛到点 \(y \in Y \subset X\). 在度量空间中序列收敛的极限是唯一的，故必然具有极限点的同一性：
\[ x = y \]
因为 \(y \in Y\)，所以立刻得到 \(x \in Y\). 这表明子空间 \(Y\) 包含了自身所有的极限点，故 \(Y\) 是距离空间 \(X\) 中的闭子集.
证法二：导集闭包法
我们也可以不直接以收敛序列为假定起点，而是从拓扑学中极限点（聚点）的古典定义出发来进行严密构造.
设 \((X,d)\) 为距离空间，\(Y \subset X\) 为其完备子空间. 设 \(x \in X\) 为子集 \(Y\) 的任意一个极限点. 由度量空间极限点的定义可知，以 \(x\) 为圆心、以任意正实数为半径的开球内，均存在属于集合 \(Y\) 且不同于 \(x\) 的点.
特取正实数半径序列为 \(r_n = 1/n\)（其中 \(n \in \mathbb{N}^+\)），在对应每个开球 \(B(x, 1/n)\) 内，必然能够选出点 \(y_n \in Y\)，使得自反度量距离满足：
\[ d(y_n, x) < \frac{1}{n} \]
这就构造出了一个全含于子集内部的无穷序列 \(\{y_n\}_{n=1}^\infty \subset Y\). 根据夹逼定理，当 \(n \to \infty\) 时 \(d(y_n, x) \to 0\)，故序列 \(\{y_n\}\) 在全空间 \(X\) 中收敛于极限点 \(x\).
随后的逻辑推理均依仗度量完备性展开：因为 \(\{y_n\}\) 在全空间中收敛，故它是一个Cauchy列；又因 \(\{y_n\} \subset Y\) 且 \(Y\) 具完备性，该Cauchy列必收敛于子空间内的某个确切元素 \(y \in Y\). 根据度量空间中序列极限的唯一性判据，恒有 \(x = y \in Y\).
这证明了子集 \(Y\) 的导集 \(Y'\) 完全包含于其自身之中（\(Y' \subset Y\)），亦即集合 \(Y\) 满足 \(\bar{Y} = Y \cup Y' = Y\)，从而在全度量空间 \(X\) 中构成了闭子空间.
助教提点
这道习题为我们揭示了一个非常深刻且优美的理论事实，即在度量空间中，“闭性”是一个相对概念，而“完备性”是一个绝对概念。
什么叫做“相对”？一个集合是否为闭集，往往取决于外界——即你把它塞在哪个全空间（母空间）里考察。但完备性不一样，它代表的是度量空间内禀的“绝对强悍”属性：一个子空间如果自身具有完备性，意味着它内部的所有Cauchy列都能在内部找到归宿，自己内部根本“不漏风”。因此，这道题告诉我们完备性远比闭集更强——一个具备完备性的集合，不需要依附或借力于任何母空间 \(X\) 的完备与否，无论你将它放置到哪一个度量空间里去，它都绝对拥有自力更生成为一个闭子集的底气与资格。
从考试评分与答题规范的角度来看，本题虽短，但极重“概念翻译”的链条完整性。如果本题满分为10分，标准的给分细则如下：
- 序列转化（2分）：能够明确指出或证明“子空间中的收敛列必定是Cauchy列（基本列）”。虽然在度量空间中这是一条基本性质，但在推导中直接跳过该说明将扣除规范分。
- 完备归宿（4分）：能够准确调用 \(Y\) 的完备性定义，说明该Cauchy列必然在子集 \(Y\) 内部收敛于某个确切的极限点 \(y \in Y\)。
- 唯一封闭（4分）：能够利用度量空间中“极限唯一性”，严格推理出全空间极限点 \(x\) 与内部极限点 \(y\) 的同一性（\(x=y\)），从而真正完成“极限点仍属于集合本身”的闭集论证。
学习到这里，请同学们务必把两个结论对比排列：
- 完备距离空间的任一闭子空间也是完备的（需要母空间完备作前提）；
- 距离空间的完备子空间必是闭子空间（即本题，不需要母空间完备作前提）。
其实这么一对比就知道，这两个命题本身就不是逆命题，只是看着像而已。只要分清究竟谁是“依赖环境的属性”，谁是“内禀强悍的绝对属性”，相信对拓扑与泛函概念的掌控力就会提升一个台阶。