泛函分析习题讲解 习题1.6
习题题面
证明在距离空间中，如果一个半径为7的开球包含在一个半径为3的开球中，则这两个球重合.
教材参考答案
设 \(B(x_1,7) \subset B(x_2,3)\)，则 \(d(x_1,x_2)<3\). \(\forall y \in B(x_2,3)\)，则 \(d(x_2,y)<3\)，于是
\[ d(x_1,y) \leq d(x_1,x_2) + d(x_2,y) < 3 + 3 = 6 < 7, \]
所以 \(B(x_2,3) \subset B(x_1,7)\)，故两球重合.
习题分析
这道题和上一道题（习题 1.5）是绝佳的姊妹题，它们共同构成了对距离空间开球性质的深度考察。在习题 1.5 中，我们探讨了在非完备、非稠密的离散点空间中，大球（半径为4）是可以成为小球（半径为3）的真子集的。那么很多同学自然会产生一个疑问，既然离散点空间这么“不合常理”，那是不是只要空间足够离散，随便多大的球都能塞进小球里？这道题则霸气地回答了这个问题，这么做是绝对行不通的！不管你的空间再怎么离散、再怎么充满断层，只要你定义的是一个“距离空间”，就必须绝对服从距离的三大公理。这道题正是利用了最底层的铁律——三角不等式，给出了这种反直觉现象的绝对上限。
仔细观察教材答案的证明逻辑：因为大球在小球内，所以大球的球心 \(x_1\) 必然也在小球内。对于小球内的任意一点 \(y\)，它到 \(x_1\) 的距离，被三角不等式死死地限制在了 \(d(x_1,x_2) + d(x_2,y) < 3+3=6\) 之内。这意味着，小球里面的所有点，到大球球心 \(x_1\) 的距离都不会超过6。而大球的覆盖半径是7，因此大球反过来轻而易举地“吞噬”了整个小球，从而推导出两者必然重合。通过这个机制，我们可以将这道题的结论一般化：在任意距离空间中，若开球 \(B(x,R) \subset B(y,r)\)，且满足 \(R > 2r\)，则必然有 \(B(x,R) = B(y,r)\)。
现在我们再回看习题 1.5，为什么当时我们能构造出大球是小球真子集的反例？因为在习题 1.5 中，\(R=4\)，\(r=3\)，恰好满足 \(R\le2r\) 这个条件（\(4 \le 6\)）。正是因为避开了 \(R>2r\) 这个由三角不等式设下的“结界”，我们才得以在离散点空间中找到数学漏洞。可以说，习题 1.6 的三角不等式原理，正是指导我们在习题 1.5 中寻找反例的灵感来源与边界限制。
课后思考：
当 \(R\le 2r\) 时，例如假设本题中大球半径依然为7，但小球的半径变为5（破坏了 \(R>2r\) 这个条件），这道题“两球重合”的结论是否还必然成立？你能否模仿习题 1.5 的思路，利用离散点空间构造出一个反例？
标准解答
教材给出的证明逻辑已经非常严密且标准，可直接作为考试作答模板. 为了便于大家复习，这里将其梳理为两步证明法：
第一步：证明 \(B(x_2,3) \subset B(x_1,7)\)
已知 \(B(x_1,7) \subset B(x_2,3)\)，这意味着大球 \(B(x_1,7)\) 的球心 \(x_1\) 必然属于小球 \(B(x_2,3)\)，根据开球定义有：
\[ d(x_1,x_2) < 3 \]
对于小球 \(B(x_2,3)\) 中的任意一点 \(y\)，同样根据开球定义有：
\[ d(x_2,y) < 3 \]
根据距离空间的三角不等式，点 \(y\) 到大球球心 \(x_1\) 的距离满足：
\[ d(x_1,y) \le d(x_1,x_2) + d(x_2,y) < 3 + 3 = 6 \]
因为 \(6 < 7\)，即 \(d(x_1,y) < 7\)，所以点 \(y\) 必然也属于大球 \(B(x_1,7)\)。这说明小球中的任意一点都在大球中，即 \(B(x_2,3) \subset B(x_1,7)\).
第二步：得出重合结论
由题设已知 \(B(x_1,7) \subset B(x_2,3)\)，结合第一步证得的 \(B(x_2,3) \subset B(x_1,7)\)，根据集合相等的定义，两者互为子集，故两球重合：
\[ B(x_1,7) = B(x_2,3) \]
证明完毕.
助教提点
作为上一题的绝佳姊妹题，这道题同样属于那种“乍看反直觉，实则非常trivial（平凡）”的经典命题。它的核心目的依然是考验大家对数学定义（特别是距离空间三角不等式）的绝对信任与熟练运用。正如【习题分析】中所强调的，在泛函分析的学习中，一旦我们脱离了直观的几何空间，日常直觉往往会失效，唯有严格的数学逻辑推理才是最可靠的抓手。
至于这道题的考法与评分，由于它与习题 1.5 考察的思维方式一脉相承，如果作为作业或考试题（假设满分为5分），我的评分标准会严格锚定在推导的逻辑链条上。具体来说，能够准确运用开球定义和三角不等式，成功推导出 \(B(x_2,3) \subset B(x_1,7)\) 这个核心包含关系的，可以直接拿下3分的大头；在此基础上，结合已知条件运用集合相等定义，最终点明两球完全重合的结论，即可获得最后的2分。