泛函分析习题讲解 习题1.5
习题题面
在距离空间中，一个半径为4的开球能否成为一个半径为3的开球的真子集？
教材参考答案
能. 例：设 \(X=\{1,3.5,6\}\) 作为 \(\mathbb{R}\) 的子集，按 \(\mathbb{R}\) 中的距离是一个距离空间. \(B(1,4)=\{1,3.5\}\)；\(B(3.5,3)=\{1,3.5,6\}\)；\(B(1,4)\subset B(3.5,3)\) 但 \(B(1,4)\neq B(3.5,3)\).
习题分析
这道题目的核心目的，是希望大家能够通过严谨的数学定义去打破直觉上的思维定势。在我们的日常直觉（或者说在欧几里得空间、赋范线性空间等连通且处处稠密的完备空间）里，大球绝对不可能成为小球的真子集。我们可以用反证法来思考：假设大球 \(B(x,4)\) 是小球 \(B(y,3)\) 的子集，由于这些空间是连续且稠密的，我们总能在从 \(y\) 穿过 \(x\) 的射线上，取到一个在 \(B(x,4)\) 内部且无限逼近大球边界的点 \(z\)，使得 \(d(x,z)\to 4\)。因为 \(z\) 必然也在小球内，所以 \(d(y,z) < 3\)。根据直线的性质和三角不等式，\(d(y,z)=d(y,x)+d(x,z)\to d(y,x)+4<3\)，这就必然推出 \(d(y,x) < -1\) 这一荒谬的矛盾。
但是，请注意上述推导成立的一个极其苛刻的前提，即空间必须是稠密且连续的，允许我们构造出一条射线，并让点在射线上连续滑动来逼近边界。如果空间不是处处稠密的，而是像“孤岛”一样存在大量断层和空隙呢？在这种非完备、非连续的、由离散点构成的空间中，上述的“射线逼近法”就彻底失效了。因为空间的断层，我们可能根本找不到一个距离 \(x\) 为 3.999 的点，甚至连满足距离在 3 到 4 之间的点都不存在。这恰恰为我们寻找反例指明了方向，即我们必须人为构造一个带有巨大“断层”的离散点空间。在这个离散点空间中，我们需要精妙地利用“断层”来安插点的位置，使得某个点 \(C\) 满足一个极其反直觉的条件，即它在小球的势力范围内，却掉出了大球的势力范围。
我们可以按照以下逻辑链条，在实数轴 \(\mathbb{R}\) 上人为挑出几个孤立点来拼凑这个空间 \(X\)：
- 确定中心点与相对距离：假设大球（半径 \(r_1=4\)）的中心为 \(A\)，小球（半径 \(r_2=3\)）的中心为 \(B\)。为了让大球被小球包含，中心 \(A\) 必须在小球内，同时 \(B\) 最好也在大球内。我们不妨设 \(A=1\)，并让它们之间的距离为 2.5（满足同时小于 3 和 4），则 \(B=3.5\)。
- 引入断层越界点：要让大球成为小球的真子集，空间
\(X\) 中必须存在第三个点 \(C\)。我们需要让 \(C\) 处于断层之中，使其满足：
- \(C\) 在小球 \(B(3.5,3)\) 内 \(\implies d(3.5, C)<3 \implies 0.5<C<6.5\)
- \(C\) 在大球 \(B(1,4)\) 外 \(\implies d(1,C)\ge4 \implies C\ge5\) 或是 \(C\le-3\)
- 得出结论：对上述两个条件取交集，我们发现只要将 \(C\) 安插在 \([5, 6.5)\) 这个区间内，就能完美打破直觉。
教材中给出的反例正是取了该区间内的一个孤立点 \(C=6\)。通过这样由果溯因的推导过程，我们就能明白 \(X=\{1, 3.5, 6\}\) 这个看似随机的集合，正是为了破坏空间的连续性而被严密构造出来的。需要注意的是，教材给出的例子十分精简，但在真实的考试和作业中，我们必须提供详尽的距离验证过程。具体的书写规范可以参考下方的标准解答。
标准解答
能. 构造反例如下：
取距离空间为 \(X=\{1, 3.5, 6\}\)，其上的距离函数为其作为 \(\mathbb{R}\) 的子集所继承的欧氏距离，即 \(d(x,y) = |x-y|\).
对于空间 \(X\) 中的点 \(x=1\)，计算空间中所有点到它的距离：
- \(d(1, 1) = 0 < 4\)
- \(d(1, 3.5) = 2.5 < 4\)
- \(d(1, 6) = 5 \ge 4\)
因此，在空间 \(X\) 中，以 1 为中心、4 为半径的开球为：
\[B(1, 4) = \{1, 3.5\}\]
同理，对于空间 \(X\) 中的点 \(x=3.5\)，计算空间中所有点到它的距离：
- \(d(3.5, 1) = 2.5 < 3\)
- \(d(3.5, 3.5) = 0 < 3\)
- \(d(3.5, 6) = 2.5 < 3\)
因此，在空间 \(X\) 中，以 3.5 为中心、3 为半径的开球为：
\[B(3.5, 3) = \{1, 3.5, 6\}\]
对比两个开球的集合，显然有 \(\{1, 3.5\} \subset \{1, 3.5, 6\}\) 且 \(\{1, 3.5\} \neq \{1, 3.5, 6\}\). 故 \(B(1, 4)\) 是 \(B(3.5, 3)\) 的真子集，从而证明了在一般距离空间中，半径为 4 的开球是可以成为半径为 3 的开球的真子集的.
助教提点
这道题目虽然篇幅短小，但对于刚接触泛函分析的同学来说，是一个极佳的“破冰”练习。在实际的作业或考试作答中，大家当然不需要像【习题分析】那样把寻找反例的整个心路历程全盘托出，但你的大脑中一定要有一根清晰的数学逻辑主线：知道为什么要放弃连续空间，转而去“离散点空间”中寻找突破口。从这门课开始，大家会遇到许多在日常经验里看似反直觉，但在特定拓扑结构下却非常trivial（平凡）的命题。学会剥离直觉，用严格的数学分析思维去解构问题，是学好泛函分析的第一步。
至于这道题的考法与评分，由于整体难度不大，非常适合作为小试牛刀的基础题。如果这道题出现在作业或考卷上（假设满分为5分），我的评分标准会重点考察大家的“构造逻辑”。具体来说，能够明确答出“能”这个结论可得1分；能够清晰给出大球与小球中心的相对距离关系（即在脑海中搭好反例的骨架）可以得到2分；最后，只要能根据上述关系成功给出具体的离散点集合并完成距离验证，就能拿下剩余的2分。