泛函分析习题讲解 习题1.2
习题题面
证明如果 \(d\) 是集 \(X\) 上的距离，则 \(\displaystyle d_1=\frac{d}{1+d}\) 也是 \(X\) 上的距离.
教材参考答案
\(d\left({x, y}\right)\geq0\) 且 \(d\left({x, y}\right)=0\)，当且仅当 \(x=y\). \(d\left({x, y}\right)=d\left({y, x}\right)\) 显然. 其次，由于 \(\displaystyle \frac{d}{1 + d}\) 关于 \(d\) 是递增的（参见例1.1.3）
\[ \begin{aligned} {d}_{1}\left( {x, y}\right) &= \frac{d\left( {x, y}\right) }{1 + d\left( {x, y}\right) } \leq \frac{d\left( {x, z}\right) + d\left( {z, y}\right) }{1 + d\left( {x, z}\right) + d\left( {z, y}\right) } \\ &\leq \frac{d\left( {x, z}\right) }{1 + d\left( {x, z}\right) + d\left( {z, y}\right) } + \frac{d\left( {z, y}\right) }{1 + d\left( {x, z}\right) + d\left( {z, y}\right) } \\ &\leq \frac{d\left( {x, z}\right) }{1 + d\left( {x, z}\right) } + \frac{d\left( {z, y}\right) }{1 + d\left( {z, y}\right) } = {d}_{1}\left( {x, z}\right) + {d}_{1}\left( {z, y}\right). \end{aligned} \]
习题分析
这道题所展示的距离构造方法（即 \(d_1 = \frac{d}{1+d}\)），在众多度量空间理论中具有极为特殊的地位。它不仅是后续构造实数列空间 \(s\) 和可测函数空间 \(S\) 距离度量的核心引理，更揭示了一个深刻的拓扑性质，即任何一个距离空间都可以等价地转化为一个有界距离空间。这为我们后续的学习做了一个非常有用的铺垫。
关于本题的书面解答，教材给出的“单调函数放缩法”极其优雅且经典。但作为初学者，在独立书写证明时，务必注意以下两处细节以保证逻辑的严密性：
- 拒绝滥用“显然”： 教材虽然一笔带过，但在作业和考试中，我们需要明确写出：因为 \(d \ge 0\)，所以分母 \(1+d > 0\)，从而保证了 \(d_1\) 的非负性与同一性；同理，由 \(d(x,y)=d(y,x)\) 直接代入定义式即可得到对称性。这一步推导虽短，但不应省略。
- 补全单调性证明： 教材提到“\(\frac{d}{1+d}\) 关于 \(d\) 是递增的”，这一结论并不直观。在严谨的答卷中，建议通过求导或简单的代数变形（如 \(\frac{d}{1+d} = 1 - \frac{1}{1+d}\)）来简要证明该函数的单调递增性，使逻辑闭环。
此外，除了教材中利用单调函数放缩的技巧外，对于最困难的“三角不等式”证明，我们还可以采用一种名为“纯代数法（通分法）”的技巧硬解。这种方法硬桥硬马，不依赖函数单调性的前置结论，同样极其绝妙。下面我们将完整展现这两种证明方法的完整证明过程。
标准解答
要证明 \(d_1\) 是 \(X\) 上的距离，需验证非负性与同一性、对称性以及三角不等式.
首先证明非负性与同一性. 因为 \(d\) 是距离，故 \(d(x,y)\ge 0\)，从而分母 \(1+d(x,y)>0\)，所以 \(d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\ge0\)，并且 \(d_1(x,y) = 0 \iff d(x,y) = 0 \iff x = y\).
其次证明对称性. 由 \(d(x,y) = d(y,x)\) 可直接得出：
\[ d_1(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} = \frac{d(y,x)}{1+d(y,x)} = d_1(y,x) \]
最后证明三角不等式. 为了书写简便，我们设 \(a=d(x,y)\)，\(b=d(x,z)\)，\(c=d(z,y)\). 因为 \(d\) 是 \(X\) 上的距离，满足三角不等式，故 \(a,b,c \ge 0\) 且 \(a \le b+c\). 我们需要证明：\(d_1(x,y) \le d_1(x,z) + d_1(z,y)\). 这里给出两种严密的证明方法：
证法一：单调函数放缩法
构造函数 \(f(t)=\frac{t}{1+t}\ (t\ge0)\). 将函数进行代数变形：\(f(t)=1-\frac{1}{1+t}\). 由于当 \(t \ge 0\) 时，\(1+t\) 严格单调递增，故 \(\frac{1}{1+t}\) 严格单调递减，从而 \(f(t)\) 是严格单调递增函数.
（此处也可对 \(f(t)\) 求导，由于 \(f'(t) = \frac{1}{(1+t)^2} > 0\)，同样可证单调性）
因为已知 \(a \le b+c\)，利用 \(f(t)\) 的单调递增性，可得：
\[ \begin{aligned} d_1(x,y) = \frac{a}{1+a} = f(a) &\le f(b+c) = \frac{b+c}{1+b+c} \\ &= \frac{b}{1+b+c} + \frac{c}{1+b+c} \\ &\le \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c} = d_1(x,z) + d_1(z,y) \end{aligned} \]
原不等式得证.
证法二：纯代数法（通分法）
在已知 \(a \le b+c\) 且 \(a,b,c \ge 0\) 的前提下，证明等价转换为：
\[ \frac{a}{1+a} \le \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c} \]
由于 \(a,b,c \ge 0\)，所有的分母均严格大于零. 我们直接将不等式右侧通分：
\[ \begin{aligned} \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c} &= \frac{b(1+c)+c(1+b)}{(1+b)(1+c)} \\ &= \frac{b+bc+c+bc}{1+b+c+bc} \\ &= \frac{b+c+2bc}{1+b+c+bc} \end{aligned} \]
此时问题转化为，只需证明：
\[ \frac{a}{1+a} \le \frac{b+c+2bc}{1+b+c+bc} \]
因为等号两侧的分母均为正数，我们可以通过交叉相乘消除分母，即证：
\[ a(1+b+c+bc) \le (1+a)(b+c+2bc) \]
将等式两侧分别展开：
\[ a + ab + ac + abc \le b + c + 2bc + ab + ac + 2abc \]
化简，消去等式两边相同的 \(ab\) 和 \(ac\) 项：
\[ a + abc \le b + c + 2bc + 2abc \]
移项整理，即可得到：
\[ a \le b + c + 2bc + abc \]
根据题设已知 \(a \le b+c\)，且由 \(b,c \ge 0\) 可推导得出 \(2bc+abc \ge 0\). 因此，我们可以得到清晰的放缩链条：
\[ a \le b+c \le b+c+2bc+abc \]
上述最终的不等式显然成立。由于所有推导步骤都是可逆的同解变形，故原三角不等式得证.
助教提点
这道题实际上在《数学分析》的习题中大家可能就已经见过。作为一道基础性的练习，它本身的计算推导并不复杂，按部就班即可完成。但这道题背后蕴含的泛函思想却极为深刻，也就是我们在习题分析当中所提到的那样，它证明了任何一个距离空间都可以等价地转化为一个有界距离空间。
这是一个极其强大的“武器”。当我们需要将无穷多个空间进行组合（例如构造无穷维乘积空间），或者整合无穷多个半范数时，原有的距离若直接累加，极易发散至无穷大导致原有的分析工具失效。此时，我们就可以利用这种有界距离的构造方式，将无穷大的风险“强行截断”。更为精妙的是，由于这种映射是严格单调的（一一映射），它完美保留了原空间的拓扑结构。这就意味着，我们在新构造的有界空间中研究出的收敛性等性质，完全等价于原空间的性质（例如在课堂当中提到的 \(s\) 空间）。在未来的空间构造与理论研究中，大家会反复看到这个技巧的身影。
回到题目解答本身，如果这是一道满分为10分的作业题，由于整体推导不难，得分的区分度将主要集中在“逻辑闭环”上。我的评分细则会如下设置：
- 非负性、同一性与对称性（4分）：完整写出非负性与同一性（2分），以及对称性（2分）的推导。此处不能仅用一句“显然”带过，必须明确指出分母恒正的前提。
- 三角不等式（6分）：这是本题的核心得分点，根据所选证法不同，考察侧重点如下：
- 若使用证法一（单调函数放缩法）：明确指出并严谨证明辅助函数 \(f(t)=\frac{t}{1+t}\) 的单调递增性（得2分，这是最容易因滥用“显然”而失分的地方）；正确运用单调性完成最终的放缩推导（得4分）。
- 若使用证法二（纯代数法）：逻辑链条需要清晰严密。成功通过通分等价构造出中间的多项式不等式结论（得2分）；完整证明该中间结论成立，并指明所有同解变形步骤可逆（得4分）。