泛函分析习题讲解 习题1.1
习题题面
设 \(D\) 是 \([0,1]\) 区间上具有连续导数（在端点 \(t=1\)，\(t=0\) 分别具有左、右导数）的实函数全体，在 \(D\) 上定义
\[ d(x,y)=\sup\limits_{0 \leq t \leq 1}\left| x(t)-y(t) \right|+\sup\limits_{0 \leq t \leq 1}\left| x(t)'-y(t)' \right| \]
- 证明 \(D\) 是距离空间；
- 指出 \(D\) 中点列按距离收敛的意义；
- 证明 \(D\) 是完备的.
教材参考答案
- 显然.
- \(D\) 中点列按距离收敛等价于函数列及其导函数列在 \(\left\lbrack{0,1}\right\rbrack\) 上一致收敛.
- 易见，\(D\) 是 \(C\left\lbrack{0,1}\right\rbrack\) 的子空间，设 \(x_n\left(t\right)\) 及其导函数列在 \(\left\lbrack{0,1}\right\rbrack\) 上一致收敛于 \(x\left(t\right)\)，其中，\(x_n\in D\left( n = 1,2\cdots \right)\)，\(x\in C\left\lbrack{0,1}\right\rbrack\). 则由数学分析知，\(x\left(t\right)\) 在 \(\left\lbrack{0,1}\right\rbrack\) 上具有连续导数，即 \(x\in D\)，因此 \(D\) 是 \(C\left\lbrack{0,1}\right\rbrack\) 的闭子空间，从而是完备的.
习题分析
这道题的教材参考答案给得过于简略，甚至在第三问存在一个极易误导初学者的逻辑纰漏。作为泛函分析课程初期的重要练习，直接生搬硬套这段答案显然是不严谨的。具体分析如下：
- 第一问： 教材给出的“显然”二字，在作业或考试答题时是绝对的“失分项”。验证距离空间的三条公理时，非负性和对称性确实容易看出，但三角不等式的放缩绝不“显然”。这里不仅涉及上确界（\(\sup\)）的次可加性放缩，还涉及导函数的放缩转换。同学们必须完整地写出放缩过程，才能体现出严密的数学推导能力。
- 第二问： 教材给出的结论完全正确，但缺乏理论推导的支撑。解答时必须明确指出：因为距离定义中的两个 \(\sup\) 项均非负，所以它们的和趋于0，必须等价于它们各自趋于0。只有点透这一层代数关系，才能严密对应到数学分析中“函数列及其导函数列一致收敛”的概念上。
- 第三问： 教材的证明存在严重的逻辑漏洞！教材称“\(D\) 是 \(C[0,1]\) 的闭子空间，从而是完备的”。请特别注意，要使用“完备空间的闭子集是完备的”这一结论，大前提是子空间必须继承原空间的距离度量。本题中 \(D\) 空间的度量 \(d(x,y)\) 包含了导数的绝对值上确界差，而 \(C[0,1]\) 空间的标准度量仅有函数值的绝对值上确界差。两者的距离度量完全不同！因此，在度量不一致的情况下，绝不能简单粗暴地将 \(D\) 视为 \(C[0,1]\) 的度量子空间去套用定理。要严格证明完备性，我们有两条路可走：一是“返璞归真”，直接利用Cauchy列的定义进行证明；二是巧妙构造“等距映射”，将 \(D\) 映射到真正的完备乘积空间 \(C[0,1] \times C[0,1]\) 的闭子集中。
标准解答
证明 \(D\) 是距离空间
要证明 \((D,d)\) 是距离空间，需要验证对于任意 \(x,y,z \in D\)，距离的三条基本公理均成立.
由于 \(x,y \in D\)，它们及其导函数在闭区间 \([0,1]\) 上连续，由闭区间上连续函数的有界性可知，\(\sup|x(t)-y(t)|\) 与 \(\sup|x'(t)-y'(t)|\) 必为有限实数，故 \(d(x,y)\) 存在且有限.
首先证明非负性与同一性. 显然 \(\sup|x(t)-y(t)| \ge 0\) 且 \(\sup|x'(t)-y'(t)| \ge 0\)，故 \(d(x,y) \ge 0\). 若 \(d(x,y)=0\)，因为两项均非负，则必须有 \(\sup|x(t)-y(t)|=0\)，即对任意 \(t \in [0,1]\)，都有 \(x(t)-y(t)=0\)，推得 \(x=y\). 反之亦然.
其次证明对称性.
\[ \begin{aligned} d(x,y) &= \sup_{t \in [0,1]}|x(t)-y(t)| + \sup_{t \in [0,1]}|x'(t)-y'(t)| \\ &= \sup_{t \in [0,1]}|y(t)-x(t)| + \sup_{t \in [0,1]}|y'(t)-x'(t)| = d(y,x) \end{aligned} \]
最后证明三角不等式. 对任意 \(x,y,z\in D\)，根据实数绝对值的三角不等式有：
\[ |x(t)-y(t)| \le |x(t)-z(t)| + |z(t)-y(t)| \]
两边对 \(t\in [0,1]\) 取上确界：
\[ \sup_{t \in [0,1]}|x(t)-y(t)| \le \sup_{t \in [0,1]}|x(t)-z(t)| + \sup_{t \in [0,1]}|z(t)-y(t)| \]
同理，对导函数部分也有：
\[ \sup_{t \in [0,1]}|x'(t)-y'(t)| \le \sup_{t \in [0,1]}|x'(t)-z'(t)| + \sup_{t \in [0,1]}|z'(t)-y'(t)| \]
将上述两式相加，即可得到：
\[ \begin{aligned} d(x,y) &= \sup|x(t)-y(t)| + \sup|x'(t)-y'(t)| \\ &\le \left( \sup|x(t)-z(t)| + \sup|x'(t)-z'(t)| \right) + \left( \sup|z(t)-y(t)| + \sup|z'(t)-y'(t)| \right) \\ &= d(x,z) + d(z,y) \end{aligned} \]
综上，\((D,d)\) 满足距离三公理，构成一个距离空间.
指出\(D\)中点列按距离收敛的意义
设点列 \(\{x_n\}\subset D\)，点 \(x\in D\). 按距离收敛的定义，\(\lim_{n \to \infty}d(x_n,x)=0\). 根据本题距离的定义，即：
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \sup\limits_{t \in [0,1]} |x_n(t)-x(t)| + \sup\limits_{t \in [0,1]} |x_n'(t)-x'(t)| \right) = 0 \]
因为上式括号内的两项均非负，它们之和趋于0，当且仅当它们分别趋于0. 即：
\[ \lim_{n \to \infty} \sup_{t \in [0,1]}|x_n(t)-x(t)| = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{n \to \infty} \sup_{t \in [0,1]}|x_n'(t)-x'(t)| = 0 \]
在数学分析中，这恰好是函数列及其导函数列在 \([0,1]\) 上一致收敛的定义.
综上所述，\(D\) 中点列按距离收敛，其意义等价于函数列 \(\{x_n(t)\}\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛于 \(x(t)\)，并且其导函数列 \(\{x_n'(t)\}\) 也在 \([0,1]\) 上一致收敛于 \(x'(t)\).
证明\(D\)是完备的.
这里给出两种严密的证明方法。
证法一：直接利用Cauchy列定义
设 \(\{x_n\}\) 是 \((D,d)\) 中的任意一个Cauchy列. 即对 \(\forall\varepsilon>0\)，\(\exists N\)，当 \(m,n>N\) 时，有 \(d(x_n,x_m)<\varepsilon\). 展开距离定义得：
\[ \sup_{t \in [0,1]} |x_n(t)-x_m(t)| + \sup_{t \in [0,1]} |x_n'(t)-x_m'(t)| < \varepsilon \]
由于两项均非负，这蕴含着：
- \(\sup_{t}|x_n(t)-x_m(t)|<\varepsilon\implies\{x_n(t)\}\) 是连续函数空间 \(C[0,1]\) 中的Cauchy列.
- \(\sup_{t}|x_n'(t)-x_m'(t)|<\varepsilon\implies\{x_n'(t)\}\) 也是连续函数空间 \(C[0,1]\) 中的Cauchy列.
由于赋以一致距离的 \(C[0,1]\) 空间是完备的，因此必定存在两个连续函数 \(x(t),y(t)\in C[0,1]\)，使得函数列 \(\{x_n(t)\}\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛于 \(x(t)\)，且导函数列 \(\{x_n'(t)\}\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛于 \(y(t)\).
根据数学分析中经典的函数列求导定理：若函数列 \(\{x_n\}\) 在闭区间上可导且在一点收敛（一致收敛已满足此条件），且其导函数列 \(\{x_n'\}\) 一致收敛于 \(y(t)\)，则极限函数 \(x(t)\) 同样可导，并且 \(x'(t)=y(t)\). 由此可知，极限函数 \(x(t)\) 具有连续的导数 \(x'(t)=y(t)\)，这意味着极限函数 \(x(t)\in D\).
最后，我们检查度量收敛性：由于 \(x_n\rightrightarrows x\) 且 \(x_n'\rightrightarrows x'\)，可知 \(d(x_n, x)\to 0\). 因为任意Cauchy列在空间 \(D\) 中都收敛于属于 \(D\) 的极限点，故 \(D\) 是完备的.
证法二：等距映射与闭子集法
考虑乘积空间 \(Y = C[0,1]\times C[0,1]\). 对于 \(Y\) 中的任意两个元素 \((u_1,v_1)\) 与 \((u_2,v_2)\)，我们在 \(Y\) 上定义距离为：
\[ \rho((u_1,v_1),(u_2,v_2)) = \sup_{t \in [0,1]}|u_1(t)-u_2(t)| + \sup_{t \in [0,1]}|v_1(t)-v_2(t)| \]
由于赋以一致距离的连续函数空间 \(C[0,1]\) 是完备的，不难证明由其构成的乘积空间 \((Y,\rho)\) 也是一个完备距离空间.
现在，我们定义一个映射 \(T:D\to Y\)，令 \(T(x)=(x, x')\)。根据空间 \(D\) 中距离的定义，对任意 \(x,y\in D\)，显然有：
\[ d(x,y) = \rho(T(x),T(y)) \]
因此，\(T\) 是 \(D\) 到其像集 \(T(D)\subset Y\) 上的一个等距映射. 因为等距映射保持空间的完备性，要证明 \(D\) 完备，只需证明它的等距像集 \(T(D)\) 在 \(Y\) 中是完备的. 又因为全空间 \(Y\) 已知完备，我们只需要进一步证明 \(T(D)\) 是 \(Y\) 中的闭子集即可.
观察像集的结构可知：
\[ T(D) = \{(u, v) \in Y \mid u \text{在} [0,1] \text{上连续可导，且} u' = v\} \]
假设存在 \(T(D)\) 中的点列 \(\{(u_n,v_n)\}\)，它在度量 \(\rho\) 下收敛于 \(Y\) 中的某一点 \((u,v)\). 由 \(\rho\) 的定义可知，这等价于当 \(n\to\infty\) 时，\(\sup_t|u_n(t)-u(t)|\to 0\) 且 \(\sup_t|v_n(t)-v(t)|\to 0\)。换言之，函数列 \(\{u_n(t)\}\) 在 \([0,1]\) 上一致收敛于 \(u(t)\)，且其导函数列 \(\{u_n'(t)\}\)（即 \(\{v_n(t)\}\)）在 \([0,1]\) 上一致收敛于 \(v(t)\).
根据数学分析中导函数列一致收敛的定理，极限函数 \(u\) 必然具有连续导数，并且 \(u'=v\)。这表明极限点 \((u,v)\) 完全满足像集的定义要求，即 \((u,v) \in T(D)\).
助教提点
这道题本质上难度并不大，难度系数大约在两颗星左右。作为《泛函分析》开篇的基础习题，它在考试或作业中出现时，与其说是考察复杂的计算技巧，不如说是考察大家如何运用严谨的数学逻辑去推导和表述那些“看似显然”的结论。因此，这道题的得分关键点全部落在证明过程中的逻辑衔接上——绝不能“跳步”，也不能用“显然”二字敷衍了事。
基于此，如果这是一道满分为10分的作业题或考题，我的评分细则会这样设置：
- 第一问（3分）：准确写出并证明距离空间的三条公理，每条公理（非负性与同一性、对称性、三角不等式）各占1分。特别是三角不等式中的确界放缩过程，必须清晰写出，这是本问最重要的得分点。
- 第二问（3分）：能够明确指出距离趋于0意味着两项 \(\sup\) 必须分别趋于0（得2分），并以此准确对应到数学分析中函数列及其导函数列的“一致收敛”这一定义上（得1分）。
- 第三问（4分）：常规的Cauchy列证法直观有效，通常是大家的首选。但如果在批改作业时，看到有同学能跳出思维定势，巧妙利用等距映射来构造证明，作为助教一定会眼前一亮！只可惜这题满分只有4分，不然我一定会毫不犹豫地为你加上附加分。
- 若使用证法一：明确由距离度量推导出函数列和导函数列分别是 \(C[0,1]\) 中的Cauchy列（得2分）；准确引用《数学分析》中的函数列求导定理，得出极限函数不仅可导且其导数等于导函数列的极限（得2分）。
- 若使用证法二：成功构造出完备的乘积空间 \(Y\)（得1分）；指明题干中的映射 \(T\) 为等距映射（得1分）；完整且逻辑严密地证明出像集 \(T(D)\) 是 \(Y\) 中的闭子集（得2分）。